ex'in türevinin neden ex'e (kendisine) eşit olduğunu aşağıda bazılarını göstereceğimiz bir kaç yoldan ispatlayabiliriz.
1. Yol
n→∞lim(1+n1)n=e=2.71828...
n→∞
n1→∞1
n1→0
h=n1 dönüşümü yapılırsa;
h→0
n→∞lim(1+n1)n=e
n1→0lim(1+n1)n=e
h→0lim(1+h)h1=e
h→0limh1+h=e
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)
(ex)′=h→0limhex+h−ex
(ex)′=h→0limhex(eh−1)
(ex)′=h→0limex.h(eh−1)
(ex)′=ex.h→0limh(eh−1)
(ex)′=ex.h→0limhh→0lim(eh−1)
(ex)′=ex.h→0limhh→0limeh−h→0lim1
(ex)′=ex.h→0limh(h→0limh1+h)h−h→0lim1
(ex)′=ex.h→0limhh→0limh(1+h)h−h→0lim1
(ex)′=ex.h→0limhh→0lim(1+h)−h→0lim1
(ex)′=ex.h→0limhh→0lim(1+h−1)
(ex)′=ex.h→0limhh→0limh
(ex)′=ex.1
(ex)′=ex
2. Yol
f(x)=ex
lnf(x)=lnex
lnf(x)=x.lne
lnf(x)=x.1
lnf(x)=x
[lnf(x)]′=(x)′
f(x)=lng(x)⇒f′(x)=g(x)g′(x)
f(x)f′(x)=1
f′(x)=f(x)
f′(x)=ex
3. Yol
ex fonksiyonunun sonsuz seri şeklindeki açılımından faydalanarak da ex'in türevinin kendisine eşit olduğunu ispatlayabiliriz.ex fonksiyonunun soru seri şeklindeki açılımı aşağıdaki gibidir.
ex=1+x+2!x2+3!x3+4!x4+5!x5+...
(ex)′=(1+x+2!x2+3!x3+4!x4+5!x5+...)′ (eşitliğin her iki tarafının da türevini alırız)