Sin 2x'in Açılımı Nedir ? Sin 2x'in açılımı, 2.sin x.cos x'tir.
Sin 2x'in Açılımının İspatı 1. Yol
Yukarıdaki ABC ikizkenar üçgeninde;
A B = A C = 1
B D = D C = sin x
A D = cos x
BE = sin 2 x 'tir.
ABC üçgeninin alanı;
A ( A BC ) = 2 A C . BE
A ( A BC ) = 2 BC . A D
2 A C . BE = 2 BC . A D
1. sin 2 x = 2 sin x . cos x
sin 2 x = 2. sin x . cos x
2. Yol
Yukarıdaki ABC dik üçgeninde;
A C = 1
A B = sin x
BC = cos x
A D = D C = a
B D = cos x − a 'dır.
ABC üçgeni için;
( A B ) 2 + ( BC ) 2 = ( A C ) 2
sin 2 x + cos 2 x = 1 2
sin 2 x + cos 2 x = 1
ABD üçgeni için;
( A B ) 2 + ( B D ) 2 = ( A D ) 2
sin 2 x + ( cos x − a ) 2 = a 2
sin 2 x + cos 2 x − 2. cos x . a + a 2 = a 2
sin 2 x + cos 2 x − 2. cos x . a + a 2 − a 2 = 0
1 − 2. cos x . a = 0
− 2. cos x . a = − 1
− 2. cos x − 2. cos x . a = − 2. cos x − 1
a = 2. cos x 1
ABD üçgeninde;
sin 2 x = A D A B = a sin x
sin 2 x = 2. cos x 1 sin x
sin 2 x = sin x .2. cos x
sin 2 x = 2. sin x . cos x
3. Yol
Trigonometrik değeri bilinen iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerini bulabilmek için kullanılan formüllere toplam-fark formülleri denir. Sinüs için aşağıdaki toplam formülünü kullanarak sin 2x'in açılımının değerini bulabiliriz.
s i n ( a + b ) = s i n a . c o s b + s i n b . c o s a
sin 2 x = sin ( x + x )
sin 2 x = sin x . cos x + sin x . cos x sin 2 x = 2. sin x . cos x
S or u : s i n x − c o s x = 2 1 ⇒ s i n 2 x = ?
C e v a p :
s i n x − c o s x = 2 1
( s i n x − c o s x ) 2 = ( 2 1 ) 2
s i n 2 x − 2. s i n x . c o s x + c o s 2 x = 4 1
s i n 2 x + c o s 2 x − 2. s i n x . c o s x = 4 1
1 − s i n 2 x = 4 1
− s i n 2 x = 4 1 − 1
− s i n 2 x = 4 1 − 4
− s i n 2 x = − 4 3
s i n 2 x = 4 3
S or u :
c o s 20° = x ⇒ c o s 40°. s i n 20° s i n 80° = ?
C e v a p :
c o s 40°. s i n 20° s i n 80° = c o s 40° . s i n 20° 2. s i n 40°. c o s 40°
c o s 40°. s i n 20° s i n 80° = s i n 20° 2.2. s i n 20° . c o s 20°
c o s 40°. s i n 20° s i n 80° = 4. c o s 20°
c o s 40°. s i n 20° s i n 80° = 4 x