Sin u(x)'in Türevi Nedir ? Sin u(x)'in türevi, u'(x).cos u(x)'tir.
d x d [ sin u ( x )] = d x d [ u ( x )] . cos u ( x )
Sin u(x)'in Türevinin İspatı 1. Yol f ′ ( x ) = h → 0 lim h f ( x + h ) − f ( x ) [ sin u ( x ) ] ′ = h → 0 lim h sin u ( x + h ) − sin u ( x )
s i n p − s i n q = 2. s i n ( 2 p − q ) . c o s ( 2 p + q ) [ sin u ( x ) ] ′ = h → 0 lim h 2. sin [ 2 u ( x + h ) − u ( x ) ] . cos [ 2 u ( x + h ) + u ( x ) ]
[ sin u ( x ) ] ′ = h → 0 lim { h 2 . sin [ 2 u ( x + h ) − u ( x ) ] . cos [ 2 u ( x + h ) + u ( x ) ] }
[ sin u ( x ) ] ′ = h → 0 lim { h 2 . sin [ 2 u ( x + h ) − u ( x ) ] . cos [ 2 u ( x + h ) + u ( x ) ] . u ( x + h ) − u ( x ) u ( x + h ) − u ( x ) }
[ sin u ( x ) ] ′ = h → 0 lim { u ( x + h ) − u ( x ) 2 . sin [ 2 u ( x + h ) − u ( x ) ] . h u ( x + h ) − u ( x ) . cos [ 2 u ( x + h ) + u ( x ) ] } [ sin u ( x ) ] ′ = h → 0 lim { 2 u ( x + h ) − u ( x ) sin [ 2 u ( x + h ) − u ( x ) ] . h u ( x + h ) − u ( x ) . cos [ 2 u ( x + h ) + u ( x ) ] }
[ sin u ( x ) ] ′ = h → 0 lim 2 u ( x + h ) − u ( x ) sin [ 2 u ( x + h ) − u ( x ) ] . h → 0 lim h u ( x + h ) − u ( x ) . h → 0 lim cos [ 2 u ( x + h ) + u ( x ) ]
h = 2 u ( x + h ) − u ( x ) ( h → 0 )
[ sin u ( x ) ] ′ = h → 0 lim h sin h . h → 0 lim h u ( x + h ) − u ( x ) . h → 0 lim cos [ 2 u ( x + h ) + u ( x ) ]
t → 0 l i m t s i n t = 1
[ sin u ( x ) ] ′ = 1. u ′ ( x ) . cos [ 2 u ( x + 0 ) + u ( x ) ]
[ sin u ( x ) ] ′ = 1. u ′ ( x ) . cos [ 2 u ( x ) + u ( x ) ]
[ sin u ( x ) ] ′ = 1. u ′ ( x ) . cos [ 2 2 . u ( x ) ]
[ sin u ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) . cos u ( x )
2. Yol Sin u(x) ve cos u(x) fonksiyonlarının sonsuz seri şeklindeki açılımlarından faydalanarak da sin u(x)'in türevinin u'(x).cos u(x)'e eşit olduğunu ispatlayabiliriz. Sin u(x) ve cos u(x) fonksiyonlarının sonsuz seri şeklindeki açılımları aşağıdaki gibidir.
s i n u ( x ) = u ( x ) − 3 ! [ u ( x ) ] 3 + 5 ! [ u ( x ) ] 5 − 7 ! [ u ( x ) ] 7 + 9 ! [ u ( x ) ] 9 − ...
c o s u ( x ) = 1 − 2 ! [ u ( x ) ] 2 + 4 ! [ u ( x ) ] 4 − 6 ! [ u ( x ) ] 6 + 8 ! [ u ( x ) ] 8 − ...
sin u ( x ) = u ( x ) − 3 ! [ u ( x ) ] 3 + 5 ! [ u ( x ) ] 5 − 7 ! [ u ( x ) ] 7 + 9 ! [ u ( x ) ] 9 − ...
[ sin u ( x ) ] ′ = { u ( x ) − 3 ! [ u ( x ) ] 3 + 5 ! [ u ( x ) ] 5 − 7 ! [ u ( x ) ] 7 + 9 ! [ u ( x ) ] 9 − ... } ′
[ sin u ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) − { 3 ! [ u ( x ) ] 3 } ′ + { 5 ! [ u ( x ) ] 5 } ′ − { 7 ! [ u ( x ) ] 7 } ′ + { 9 ! [ u ( x ) ] 9 } ′ − ...
[ sin u ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) − 3 ! 3. [ u ( x ) ] 2 . u ′ ( x ) + 5 ! 5. [ u ( x ) ] 4 . u ′ ( x ) − 7 ! 7. [ u ( x ) ] 6 . u ′ ( x ) + 9 ! 9. [ u ( x ) ] 8 . u ′ ( x ) − ...
[ sin u ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) − 3 .2 ! 3 . [ u ( x ) ] 2 . u ′ ( x ) + 5 .4 ! 5 . [ u ( x ) ] 4 . u ′ ( x ) − 7 .6 ! 7 . [ u ( x ) ] 6 . u ′ ( x ) + 9 .8 ! 9 . [ u ( x ) ] 8 . u ′ ( x ) − ...
[ sin u ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) . { 1 − 2 ! [ u ( x ) ] 2 + 4 ! [ u ( x ) ] 4 − 6 ! [ u ( x ) ] 6 + 8 ! [ u ( x ) ] 8 − ... }
[ sin u ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) . cos u ( x )
S or u :
f ( x ) = s i n ( 3 x 2 + 5 x + 4 ) ⇒ f ′ ( x ) = ?
C e v a p :
f ( x ) = s i n ( 3 x 2 + 5 x + 4 )
f ′ ( x ) = [ s i n ( 3 x 2 + 5 x + 4 ) ] ′
f ( x ) = s i n u ( x ) ⇒ f ′ ( x ) = u ′ ( x ) . c o s u ( x )
f ′ ( x ) = ( 3 x 2 + 5 x + 4 ) ′ . c o s ( 3 x 2 + 5 x + 4 )
f ′ ( x ) = ( 2.3. x + 5 + 0 ) . c o s ( 3 x 2 + 5 x + 4 )
f ′ ( x ) = ( 6 x + 5 ) . c o s ( 3 x 2 + 5 x + 4 )