Tan 2x'in Açılımı

Tan 2x'in Açılımı Nedir ?

Tan 2x'in açılımı, 2.Tan x/(1 - Tan² x)'dir.

Tan 2x'in Açılımının İspatı

Yukarıdaki ABC dik üçgeninde;

$AC=1$

$AB=\sin x$

$BC=\cos x$

$AD=DC=a$

$BD=\cos x-a$'dır.

ABC üçgeni için;

$(AB{)}^2+(BC{)}^2=(AC{)}^2$

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1^2$

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

ABD üçgeni için;

$(AB{)}^2+(BD{)}^2=(AD{)}^2$

${\sin }^{2}x+(\cos x-a{)}^2=a^2$

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-2.\cos x.a+a^2=a^2$

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-2.\cos x.a+\cancel{a^2}-\cancel{a^2}=0$

$1-2.\cos x.a=0$

$-2.\cos x.a=-1$

$\frac{\cancel{-2.\cos x}.a}{\cancel{-2.\cos x}}=\frac{-1}{-2.\cos x}$

$a=\frac{1}{2.\cos x}$

ABD üçgeninde;

$\tan 2x=\frac{AB}{BD}=\frac{\sin x}{\cos x-a}$

$\tan 2x=\frac{\sin x}{\cos x-\frac{1}{2.\cos x}}$

$\tan 2x=\frac{\sin x}{\frac{2.{\cos }^{2}x-1}{2.\cos x}}$

$\tan 2x=\frac{\sin x.2.\cos x}{2.{\cos }^{2}x-1}$

$\tan 2x=\frac{2.\sin x.\cos x}{2.{\cos }^{2}x-1}$

$\tan 2x=\frac{2.\sin x.\cos x}{2.{\cos }^{2}x-({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)}$

$\tan 2x=\frac{2.\sin x.\cos x}{2.{\cos }^{2}x-{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}$

$\tan 2x=\frac{2.\sin x.\cos x}{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}$

$\tan 2x=\frac{\frac{2.\sin x.\cos x}{{\cos }^{2}x}}{\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}$

$\tan 2x=\frac{\frac{2.\sin x.\cancel{\cos x}}{\cancel{\cos x}.\cos x}}{\frac{\cancel{{\cos }^{2}x}}{\cancel{{\cos }^{2}x}}-\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}$

$\tan 2x=\frac{2.\frac{\sin x}{\cos x}}{1-(\frac{\sin x}{\cos x}{)}^2}$

$\boxed{\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}$

$\tan 2x=\frac{2.\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$