İç açılarının ölçüleri 15°, 75° ve 90° olan üçgene 15 75 90 üçgeni denir. Yukarıdaki şekildeki ABC üçgeni bir 15 75 90 üçgenidir.
15 75 90 Üçgeni Kenarları
Bir 15 75 90 üçgeninde, 15°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğuna k dersek 75°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu (2 + √3)k ve 90°'lik açının karşısındaki kenarın (hipotenüsün) uzunluğu da (√2 + √6)k olur.
15 75 90 Üçgeni İspatı
Yukarıdaki şekildeki ABD üçgeni bir 30 60 90 üçgenidir. 30 60 90 üçgeninde 90°'lik açının karşısındaki kenarın (hipotenüsün) uzunluğu 30°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun 2 katı ve 60°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu da 30°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun √3 katıdır.
AB kenarının uzunluğuna k dersek AC kenarının uzunluğu 2k ve BD kenarının uzunluğu da √3k olur. CAD açısının ölçüsü ile DCA açısının ölçüsü birbirine eşit olduğu için, AD kenarı ile DC kenarının uzunluğu birbirine eşit olur.
|AB| = k
|BD| = √3k
|AD| = |DC| = 2k
Yukarıdaki şekildeki ABC üçgenine Pisagor Teoremi'ni uygularsak;
|AC|² = |AB|² + |BC|² olur.
|AC|² = |AB|² + |BC|²
|AC|² = k² + ((2 + √3)k)²
|AC|² = k² + (2 + √3)²k²
|AC|² = k² + (2² + 2.2.√3 + √3²)k²
|AC|² = k² + (4 + 4√3 + 3)k²
|AC|² = k² + (7 + 4√3)k²
|AC|² = (1+7 + 4√3)k²
|AC|² = (8 + 4√3)k²
|AC|² = (8 + 2.2√3)k²
|AC|² = (8 + 2√2².3)k²
|AC|² = (8 + 2√4.3)k²
|AC|² = (8 + 2√12)k²
|AC|² = (2 + 6 + 2√2.6)k²
|AC|² = (√2² + √6² + 2√2.√6)k²
|AC|² = (√2 + √6)²k²
|AC| = (√2 + √6)k olur.
15 75 90 üçgeninde 90°'lik açının karşısındaki kenarın (hipotenüsün) uzunluğu (√2 + √6)k'dir.
15 75 90 Üçgeni Özellikleri
1. 15 75 90 Üçgeninin kenar uzunluklarının toplamı (√2 + √3 + √6 + √9).k'dir.
2. 15 75 90 Üçgeninin alanı (1 + √3/2)k²/2'dir.
3. 15 75 90 Üçgeninde hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu hipotenüsün uzunluğunun 1/4'ü kadardır. h = (√2 + √6)k/4
Yukarıdaki şekilde |AC| = 4.|BD|'dir.
İspat
|AC|.|BD|/2 = |AB|.|BC|/2
|AC|.|BD| = |AB|.|BC|
(√2 + √6)k.h = k.(2 + √3)k
(√2 + √6).h = (2 + √3)k
h = (2 + √3)k/(√2 + √6)
h = (2 + √3)(√2 - √6)k/(√2 + √6)(2 - √6)
h = (2√2 - 2√6 + √3.√2 - √3.√6)k/(√2² - √6²)
h = (2√2 - 2√6 + √6 - √18)k/(2 - 6)
h = (2√2 - 2√6 + √6 - 3√2)k/-4
h = (-√2 - √6)k/-4
h = (√2 + √6)k/4 olur.
