Çarpanlara Ayırma Nedir?
Harfli bir ifadeyi iki veya daha fazla sayıda ifadenin çarpımı şeklinde yazma işlemine çarpanlara ayırma denir.
Çarpanlara Ayırma Yöntemleri
1. Ortak Çarpan Parantezine Alma
Harfli ifadeyi oluşturan terimlerin içerisinde eğer ortak bir çarpan varsa, bu harfli ifade ortak çarpan parantezi şeklinde yazabilir.
Örneğin ax + bx harfli ifadesini oluşturan terimler için x bir ortak çarpandır. İfadeyi x ortak çarpan olacak şekilde yazalım.
ax + bx = x . (a + b) olur.
İspat
ax = x + x + ... + x
(a tane x)
bx = x + x + ... + x
(b tane x)
ax + bx = (x + x + ... + x) + (x + x + ... + x)
(a tane x) (b tane x)
ax + bx = x + x + ... + x + x + x + ... + x
(a + b tane x)
ax + bx = (a + b) . x olur.
2. Gruplandırma
Verilen çok terimli bir harfli ifadenin her teriminde ortak bir çarpan yoksa, terimler ikişerli, üçerli veya daha fazla olacak şekilde gruplara ayrılarak bu gruplar içerisinden bir ortak çarpan bulunmaya çalışılır.
Örneğin, x² + ax + bx + ab harfli ifadesinde bütün terimler için bir ortak çarpan yoktur. Bu harfli ifadeyi ancak gruplandırma yöntemi ile çarpanlarına ayırabiliriz.
x² + ax + bx + ab = (x² + ax) + (bx + ab)
x² + ax + bx + ab = x . (x + a) + b . (x + a)
x² + ax + bx + ab = (x + b) . (x + a) olur.
3. İki Terim Toplamının Karesi
(a + b)² = a² + 2ab + b²
İspat
Ortak çarpan parantezine alma yönteminden faydalanarak yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.
(a + b)² = (a + b) . (a + b)
(a + b)² = (a + b) . a + (a + b) . b
(a + b)² = a . (a + b) + b . (a + b)
(a + b)² = a . a + a . b + b . a + b . b
(a + b)² = a² + ab + ba + b²
ab = ba
(a + b)² = a² + 2ab + b² olur.
4. İki Terim Farkının Karesi
(a - b)² = a² - 2ab + b²
İspat
(a - b)² = (a - b) . (a - b)
(a - b)² = (a - b) . a - (a - b) . b
(a - b)² = a . (a - b) - b . (a - b)
(a - b)² = a . a - a . b - b . a - b . - b
(a - b)² = a² - ab - ba + b²
ab = ba
(a - b)² = a² - 2ab + b²
5. İki Terim Toplamının Küpü
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
İspat
(a + b)³ = (a + b)² . (a + b)
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)³ = (a² + 2ab + b²) . (a + b)
(a + b)³ = (a² + 2ab + b²) . a + (a² + 2ab + b²) . b
(a + b)³ = a . (a² + 2ab + b²) + b . (a² + 2ab + b²)
(a + b)³ = a . a² + a . 2ab + a . b² + b . a² + b . 2ab + b . b²
(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³
a²b = ba²
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
6. İki Terim Farkının Küpü
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
İspat
(a - b)³ = (a - b)² . (a - b)
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)³ = (a² - 2ab + b²) . (a - b)
(a + b)³ = (a² - 2ab + b²) . a - (a² - 2ab + b²) . b
(a + b)³ = a . (a² - 2ab + b²) - b . (a² - 2ab + b²)
(a + b)³ = a . a² + a . (-2ab) + a . b² - b . a² - b . (-2ab) - b . b²
(a + b)³ = a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³
a²b = ba²
(a + b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
7. İki Terim Küpünün Toplamı
a³ + b³ = (a + b) . (a² - ab + b²)
İspat
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)³ - 3a²b - 3ab² = a³ + b³
a³ + b³ = (a + b)³ - 3a²b - 3ab²
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab . (a + b)
a³ + b³ = (a + b)² . (a + b) - 3ab . (a + b)
a³ + b³ = (a + b) . [(a + b)² - 3ab]
(a + b)² = a² + 2ab + b²
a³ + b³ = (a + b) . (a² + 2ab + b² - 3ab)
a³ + b³ = (a + b) . (a² + 2ab - 3ab + b²)
a³ + b³ = (a + b) . (a² - ab + b²)
8. İki Terim Küpünün Farkı
a³ - b³ = (a - b) . (a² + ab + b²)
İspat
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a - b)³ + 3a²b - 3ab² = a³ - b³
a³ - b³ = (a - b)³ + 3a²b - 3ab²
a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab . (a - b)
a³ - b³ = (a - b)² . (a - b) + 3ab . (a - b)
a³ - b³ = (a - b) . [(a - b)² + 3ab]
(a - b)² = a² - 2ab + b²
a³ - b³ = (a - b) . (a² - 2ab + b² + 3ab)
a³ - b³ = (a - b) . (a² - 2ab + 3ab + b²)
a³ - b³ = (a - b) . (a² + ab + b²)
9. İki Terim Karesinin Toplamı
a² + b² = (a + b)² - 2ab
a² + b² = (a - b)² + 2ab
10. İki Terim Karesinin Farkı
a² - b² = (a + b) . (a - b)
İspat
(a + b) . (a - b) = (a + b) . a - (a + b) . b
(a + b) . (a - b) = a . (a + b) - b . (a + b)
(a + b) . (a - b) = a . a + a . b - b . a - b . b
(a + b) . (a - b) = a² + ab - ba - b²
ab = ba
(a + b) . (a - b) = a² - b²
11. Üç Terim Toplamının Karesi
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)
İspat
(a + b + c) . (a + b + c) = (a + b + c) . a + (a + b + c) . b + (a + b + c) . c
(a + b + c) . (a + b + c) = a . (a + b + c) + b . (a + b + c) + c . (a + b + c)
(a + b + c) . (a + b + c) = a . a + a . b + a . c + b . a + b . b + b . c + c . a + c . b + c . c
(a + b + c) . (a + b + c) = a² + ab + ac + ba + b² + bc + ca + cb + c²
(a + b + c) . (a + b + c) = a² + b² + c² + ab + ba + ac + ca + bc + cb
(a + b + c) . (a + b + c) = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c) . (a + b + c) = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)
