Çarpanlara Ayırma Formülleri

09/10/20202 dakikalık okuma





Çarpanlara Ayırma Nedir?



Toplama veya çıkarma işlemi şeklinde verilmiş olan harf ifadeleri çarpım veya bölüm şeklinde yazma işlemine çarpanlara ayırma denir.



Çarpanlara Ayırma Yöntemleri



1. Ortak Çarpan Parantezine Alma

Harfli ifademizi oluşturan terimlerimizin içinde ortak bir çarpanımız varsa bu harfli ifademizi ortak çarpan parantezi şeklinde yazabiliriz.



Örneğin, ax + bx harfli ifadesini oluşturan terimler için x ortak çarpandır. İfademizi x'i ortak çarpan olacak şekilde yazalım.



ax + bx = x.(a + b) olur.



İspat

ax = x + x + ... + x

(a tane x)



bx = x + x + ... + x

(b tane x)



ax + bx = (x + x + ... + x) + (x + x + ... + x)

(a tane x) (b tane x)



ax + bx = x + x + ... + x + x + x + ... + x

(a + b tane x)



ax + bx = (a + b).x olur.



2. İki Terim Toplamının Karesi

(a + b)² = a² + 2ab + b²



İspat

Ortak çarpan parantezine alma kuralından yararlanarak yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.



(a + b)² = (a + b) . (a + b)

(a + b)² = (a + b) . a + (a + b) . b

(a + b)² = a . (a + b) + b . (a + b)

(a + b)² = a . a + a . b + b . a + b . b

(a + b)² = a² + ab + ba + b² (ab = ba)

(a + b)² = a² + 2ab + b²



3. İki Terim Farkının Karesi

(a - b)² = a² - 2ab + b²



İspat



(a - b)² = (a - b) . (a - b)

(a - b)² = (a - b) . a - (a - b) . b

(a - b)² = a . (a - b) - b . (a - b)

(a - b)² = a . a - a . b - b . a - b . - b

(a - b)² = a² - ab - ba + b² (-ab = -ba)

(a - b)² = a² - 2ab + b²



4. İki Terim Toplamının Küpü

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³



İspat



(a + b)³ = (a + b) . (a + b)²

(a + b)³ = (a + b) . (a² + 2ab + b²)

(a + b)³ = a . (a² + 2ab + b²) + b . (a² + 2ab + b²)

(a + b)³ = a . a² + a . 2ab + a . b² + b . a² + b . 2ab + b . b²

(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³ (a²b = ba²)

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³



5. İki Terim Farkının Küpü

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³



İspat



(a - b)³ = (a - b) . (a - b)²

(a + b)³ = (a - b) . (a² - 2ab + b²)

(a + b)³ = a . (a² - 2ab + b²) - b . (a² - 2ab + b²)

(a + b)³ = a . a² + a . (-2ab) + a . b² - b . a² - b . (-2ab) - b . b²

(a + b)³ = a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³ (-a²b = -ba²)

(a + b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³



6. İki Terim Küpünün Toplamı

a³ + b³ = (a + b) . (a² - ab + b²)



İspat



(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a + b)³ - 3a²b - 3ab² = a³ + b³

a³ + b³ = (a + b)³ - 3a²b - 3ab²

a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab . (a + b)

a³ + b³ = (a + b)² . (a + b) - 3ab . (a + b)

a³ + b³ = (a + b) . [(a + b)² - 3ab]

a³ + b³ = (a + b) . (a² + 2ab + b² - 3ab)

a³ + b³ = (a + b) . (a² + 2ab - 3ab + b²)

a³ + b³ = (a + b) . (a² - ab + b²)



7. İki Terim Küpünün Farkı

a³ - b³ = (a - b) . (a² + ab + b²)



İspat



(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

(a - b)³ + 3a²b - 3ab² = a³ - b³

a³ - b³ = (a - b)³ + 3a²b - 3ab²

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab . (a - b)

a³ - b³ = (a - b)² . (a - b) + 3ab . (a - b)

a³ - b³ = (a - b) . [(a - b)² + 3ab]

a³ - b³ = (a - b) . (a² - 2ab + b² + 3ab)

a³ - b³ = (a - b) . (a² - 2ab + 3ab + b²)

a³ - b³ = (a - b) . (a² + ab + b²)



8. İki Terim Karesinin Farkı

a² - b² = (a + b) . (a - b)



 İspat



(a + b) . (a - b) = (a + b) . a - (a + b) . b

(a + b) . (a - b) = a . (a + b) - b . (a + b)

(a + b) . (a - b) = a . a + a . b - b . a - b . b

(a + b) . (a - b) = a² + ab - ba - b² (ab = ba)

(a + b) . (a - b) = a² - b²

https://bylge-images.s3.amazonaws.com/banff-4331689_1920.jpg
Pow

Fizik, Kimya, Matematik, Tarih ve Genel Kültür Sevdiricisi

https://bylge-images.s3.amazonaws.com/banff-4331689_1920.jpgPow senin desteğini bekliyor.
İçerik paylaşarak para kazanmanın kolay yolu 💰