bylge-logo

    Bylge

    Çarpanlara Ayırma Formülleri

    Çarpanlara Ayırma Nedir? Harfli bir ifadeyi iki veya daha fazla sayıda ifadenin çarpımı şeklinde yazma işlemine çarpanlara ayırma denir. Çarpanlara Ayırma

    Picture of the Pow

    Pow

    @pow


    Çarpanlara_Ayırma_Formülleri


    Çarpanlara Ayırma Nedir?


    Harfli bir ifadeyi iki veya daha fazla sayıda ifadenin çarpımı şeklinde yazma işlemine çarpanlara ayırma denir.


    Çarpanlara Ayırma Yöntemleri


    1. Ortak Çarpan Parantezine Alma


    Harfli ifadeyi oluşturan terimlerin içerisinde eğer ortak bir çarpan varsa, bu harfli ifade ortak çarpan parantezi şeklinde yazabilir.


    Örneğin ax + bx harfli ifadesini oluşturan terimler için x bir ortak çarpandır. İfadeyi x ortak çarpan olacak şekilde yazalım.


    ax + bx = x . (a + b) olur.


    İspat


    ax = x + x + ... + x

    (a tane x)


    bx = x + x + ... + x

    (b tane x)


    ax + bx = (x + x + ... + x) + (x + x + ... + x)

    (a tane x) (b tane x)


    ax + bx = x + x + ... + x + x + x + ... + x

    (a + b tane x)


    ax + bx = (a + b) . x olur.


    2. Gruplandırma


    Verilen çok terimli bir harfli ifadenin her teriminde ortak bir çarpan yoksa, terimler ikişerli, üçerli veya daha fazla olacak şekilde gruplara ayrılarak bu gruplar içerisinden bir ortak çarpan bulunmaya çalışılır.


    Örneğin, x² + ax + bx + ab harfli ifadesinde bütün terimler için bir ortak çarpan yoktur. Bu harfli ifadeyi ancak gruplandırma yöntemi ile çarpanlarına ayırabiliriz.


    x² + ax + bx + ab = (x² + ax) + (bx + ab)

    x² + ax + bx + ab = x . (x + a) + b . (x + a)

    x² + ax + bx + ab = (x + b) . (x + a) olur.


    3. İki Terim Toplamının Karesi


    (a + b)² = a² + 2ab + b²


    İspat


    Ortak çarpan parantezine alma yönteminden faydalanarak yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.


    (a + b)² = (a + b) . (a + b)

    (a + b)² = (a + b) . a + (a + b) . b

    (a + b)² = a . (a + b) + b . (a + b)

    (a + b)² = a . a + a . b + b . a + b . b

    (a + b)² = a² + ab + ba + b²

    ab = ba

    (a + b)² = a² + 2ab + b² olur.


    4. İki Terim Farkının Karesi


    (a - b)² = a² - 2ab + b²


    İspat


    (a - b)² = (a - b) . (a - b)

    (a - b)² = (a - b) . a - (a - b) . b

    (a - b)² = a . (a - b) - b . (a - b)

    (a - b)² = a . a - a . b - b . a - b . - b

    (a - b)² = a² - ab - ba + b²

    ab = ba

    (a - b)² = a² - 2ab + b²


    5. İki Terim Toplamının Küpü


    (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³


    İspat


    (a + b)³ = (a + b)² . (a + b)

    (a + b)² = a² + 2ab + b²

    (a + b)³ = (a² + 2ab + b²) . (a + b)

    (a + b)³ = (a² + 2ab + b²) . a + (a² + 2ab + b²) . b

    (a + b)³ = a . (a² + 2ab + b²) + b . (a² + 2ab + b²)

    (a + b)³ = a . a² + a . 2ab + a . b² + b . a² + b . 2ab + b . b²

    (a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³

    a²b = ba²

    (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³


    6. İki Terim Farkının Küpü


    (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³


    İspat


    (a - b)³ = (a - b)² . (a - b)

    (a - b)² = a² - 2ab + b²

    (a + b)³ = (a² - 2ab + b²) . (a - b)

    (a + b)³ = (a² - 2ab + b²) . a - (a² - 2ab + b²) . b

    (a + b)³ = a . (a² - 2ab + b²) - b . (a² - 2ab + b²)

    (a + b)³ = a . a² + a . (-2ab) + a . b² - b . a² - b . (-2ab) - b . b²

    (a + b)³ = a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³

    a²b = ba²

    (a + b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³


    7. İki Terim Küpünün Toplamı


    a³ + b³ = (a + b) . (a² - ab + b²)


    İspat


    (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

    (a + b)³ - 3a²b - 3ab² = a³ + b³

    a³ + b³ = (a + b)³ - 3a²b - 3ab²

    a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab . (a + b)

    a³ + b³ = (a + b)² . (a + b) - 3ab . (a + b)

    a³ + b³ = (a + b) . [(a + b)² - 3ab]

    (a + b)² = a² + 2ab + b²


    a³ + b³ = (a + b) . (a² + 2ab + b² - 3ab)

    a³ + b³ = (a + b) . (a² + 2ab - 3ab + b²)

    a³ + b³ = (a + b) . (a² - ab + b²)


    8. İki Terim Küpünün Farkı


    a³ - b³ = (a - b) . (a² + ab + b²)


    İspat


    (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

    (a - b)³ + 3a²b - 3ab² = a³ - b³

    a³ - b³ = (a - b)³ + 3a²b - 3ab²

    a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab . (a - b)

    a³ - b³ = (a - b)² . (a - b) + 3ab . (a - b)

    a³ - b³ = (a - b) . [(a - b)² + 3ab]

    (a - b)² = a² - 2ab + b²


    a³ - b³ = (a - b) . (a² - 2ab + b² + 3ab)

    a³ - b³ = (a - b) . (a² - 2ab + 3ab + b²)

    a³ - b³ = (a - b) . (a² + ab + b²)


    9. İki Terim Karesinin Toplamı


    a² + b² = (a + b)² - 2ab

    a² + b² = (a - b)² + 2ab


    10. İki Terim Karesinin Farkı



    a² - b² = (a + b) . (a - b)


     İspat


    (a + b) . (a - b) = (a + b) . a - (a + b) . b

    (a + b) . (a - b) = a . (a + b) - b . (a + b)

    (a + b) . (a - b) = a . a + a . b - b . a - b . b

    (a + b) . (a - b) = a² + ab - ba - b²

    ab = ba

    (a + b) . (a - b) = a² - b²


    11. Üç Terim Toplamının Karesi


    (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)


    İspat


    (a + b + c) . (a + b + c) = (a + b + c) . a + (a + b + c) . b + (a + b + c) . c

    (a + b + c) . (a + b + c) = a . (a + b + c) + b . (a + b + c) + c . (a + b + c)

    (a + b + c) . (a + b + c) = a . a + a . b + a . c + b . a + b . b + b . c + c . a + c . b + c . c

    (a + b + c) . (a + b + c) = a² + ab + ac + ba + b² + bc + ca + cb + c²

    (a + b + c) . (a + b + c) = a² + b² + c² + ab + ba + ac + ca + bc + cb

    (a + b + c) . (a + b + c) = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

    (a + b + c) . (a + b + c) = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)

    Published Date:

    September 10, 2020

    Updated Date:

    December 07, 2023