Çarpanlara Ayırma Formülleri
Çarpanlara Ayırma Nedir?
Toplama veya çıkarma işlemi şeklinde verilmiş olan harf ifadeleri çarpım veya bölüm şeklinde yazma işlemine çarpanlara ayırma denir.
Çarpanlara Ayırma Yöntemleri
1. Ortak Çarpan Parantezine Alma
Harfli ifademizi oluşturan terimlerimizin içinde ortak bir çarpanımız varsa bu harfli ifademizi ortak çarpan parantezi şeklinde yazabiliriz.
Örneğin, ax + bx harfli ifadesini oluşturan terimler için x ortak çarpandır. İfademizi x'i ortak çarpan olacak şekilde yazalım.
ax + bx = x.(a + b) olur.
İspat
ax = x + x + ... + x
(a tane x)
bx = x + x + ... + x
(b tane x)
ax + bx = (x + x + ... + x) + (x + x + ... + x)
(a tane x) (b tane x)
ax + bx = x + x + ... + x + x + x + ... + x
(a + b tane x)
ax + bx = (a + b).x olur.
2. İki Terim Toplamının Karesi
(a + b)² = a² + 2ab + b²
İspat
Ortak çarpan parantezine alma kuralından yararlanarak yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.
(a + b)² = (a + b) . (a + b)
(a + b)² = (a + b) . a + (a + b) . b
(a + b)² = a . (a + b) + b . (a + b)
(a + b)² = a . a + a . b + b . a + b . b
(a + b)² = a² + ab + ba + b² (ab = ba)
(a + b)² = a² + 2ab + b²
3. İki Terim Farkının Karesi
(a - b)² = a² - 2ab + b²
İspat
(a - b)² = (a - b) . (a - b)
(a - b)² = (a - b) . a - (a - b) . b
(a - b)² = a . (a - b) - b . (a - b)
(a - b)² = a . a - a . b - b . a - b . - b
(a - b)² = a² - ab - ba + b² (-ab = -ba)
(a - b)² = a² - 2ab + b²
4. İki Terim Toplamının Küpü
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
İspat
(a + b)³ = (a + b) . (a + b)²
(a + b)³ = (a + b) . (a² + 2ab + b²)
(a + b)³ = a . (a² + 2ab + b²) + b . (a² + 2ab + b²)
(a + b)³ = a . a² + a . 2ab + a . b² + b . a² + b . 2ab + b . b²
(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³ (a²b = ba²)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
5. İki Terim Farkının Küpü
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
İspat
(a - b)³ = (a - b) . (a - b)²
(a + b)³ = (a - b) . (a² - 2ab + b²)
(a + b)³ = a . (a² - 2ab + b²) - b . (a² - 2ab + b²)
(a + b)³ = a . a² + a . (-2ab) + a . b² - b . a² - b . (-2ab) - b . b²
(a + b)³ = a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³ (-a²b = -ba²)
(a + b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
6. İki Terim Küpünün Toplamı
a³ + b³ = (a + b) . (a² - ab + b²)
İspat
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)³ - 3a²b - 3ab² = a³ + b³
a³ + b³ = (a + b)³ - 3a²b - 3ab²
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab . (a + b)
a³ + b³ = (a + b)² . (a + b) - 3ab . (a + b)
a³ + b³ = (a + b) . [(a + b)² - 3ab]
a³ + b³ = (a + b) . (a² + 2ab + b² - 3ab)
a³ + b³ = (a + b) . (a² + 2ab - 3ab + b²)
a³ + b³ = (a + b) . (a² - ab + b²)
7. İki Terim Küpünün Farkı
a³ - b³ = (a - b) . (a² + ab + b²)
İspat
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a - b)³ + 3a²b - 3ab² = a³ - b³
a³ - b³ = (a - b)³ + 3a²b - 3ab²
a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab . (a - b)
a³ - b³ = (a - b)² . (a - b) + 3ab . (a - b)
a³ - b³ = (a - b) . [(a - b)² + 3ab]
a³ - b³ = (a - b) . (a² - 2ab + b² + 3ab)
a³ - b³ = (a - b) . (a² - 2ab + 3ab + b²)
a³ - b³ = (a - b) . (a² + ab + b²)
8. İki Terim Karesinin Farkı
a² - b² = (a + b) . (a - b)
İspat
(a + b) . (a - b) = (a + b) . a - (a + b) . b
(a + b) . (a - b) = a . (a + b) - b . (a + b)
(a + b) . (a - b) = a . a + a . b - b . a - b . b
(a + b) . (a - b) = a² + ab - ba - b² (ab = ba)
(a + b) . (a - b) = a² - b²
