Dairenin Alanı

Çember Nedir ?

Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar kümesinin oluşturduğu şekle çember denir. Sabit noktaya çemberin merkezi, çemberin merkezi ile çember üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki uzaklığa ise çemberin yarıçapı denir. Yukarıdaki şekildeki çemberde, O noktası çemberin merkezi, r uzunluğu ise çemberin yarıçapıdır.

Çember şeklindeki herhangi bir cismin çevresinin uzunluğunu çapının uzunluğuna bölersek 3'ten biraz büyük bir değer elde ederiz. Çember ve çember şeklindeki bütün cisimler için geçerli olan bu sabit orana pi sayısı denir ve Yunan alfabesindeki π harfiyle gösterilir. Pi sayısı irrasyonel (iki tam sayının oranı olarak yazılamayan) bir sayıdır.

Yukarıdaki şekildeki O merkezli, r yarıçaplı çemberde;

$\frac{CevreUzunlu\breve{g}u}{CapUzunlu\breve{g}u}=PiSayısı$

$\frac{C}{2.r}=\pi$

$C=\pi .2.r$

$C=2.\pi .r$

Tarih boyunca insanlar π sayısı için çeşitli yaklaşık değerler kullanmışlardır. Kudüs'teki Süleyman Tapınağı'nı inşa eden İbraniler π sayısını 3 olarak almışlardır. Babilliler M.Ö. 1900-1600 arası π'nin değerini 25/8 (3,125), Eski Mısırlılar ise M.Ö. 1650'ler de 256/81 (3,1605) olarak hesapladılar. Eski Yunanlı matematikçi ve mühendis Arşimet (M.Ö. 287-212) bir çemberin içine ve dışına çok sayıda düzgün çokgen çizerek (96 tane düzgün çokgen çizmiştir), π'nin 223/71 (3,1408) ile 220/70 (3,1429) arasında olduğunu ispatladı. π'nin ilk birkaç ondalık basamağı 3,1415926535 şeklindedir ve uygulamada 3,14 olarak almak çoğu zaman yeterlidir.

Soru

Yarıçapının uzunluğu 5 cm olan bir çemberin çevresinin uzunluğu kaç cm'dir? (π = 3,14)

Cevabı

$C=2.\pi .r$

$C=2.3,14.5cm$

$C=31,4cm$

Daire Nedir ?

Çemberin içinde kalan bölgeye daire denir. Yukarıdaki şekildeki O merkezli, r yarıçaplı çemberin içinde kalan yeşil bölgeye çemberin alanı veya dairesi denir.

Dairenin Alanı Formülü

Bir dairenin alanı, pi sayısı ile dairenin yarıçapının karesinin çarpımına eşittir.

$A=\pi .r^2$

Soru

Yarıçapının uzunluğu 5 cm olan bir dairenin alanı kaç cm²'dir? (π = 3,14)

Cevabı

$A=\pi .r^2$

$A=3,14.(5cm{)}^2$

$A=3,14.25c{m}^2$

$A=78,5c{m}^2$

Dairenin Alanı Formülünün İspatı

Bir daireyi merkezinden geçen doğru parçaları ile dilimlere ayıralım ve bu dilimleri de yan yana dizelim. Daireyi böldüğümüz dilim sayısı arttıkça her bir dilimin boyutu giderek küçülecek ve sonunda birer çizgi boyutuna inecektir. Yan yana dizdiğimiz bu dilimlerden oluşan şekil kabaca bir dikdörtgene benzer. Oluşan dikdörtgenin eni aşağı yukarı dairenin yarı çapına (r), boyu ise çevresinin (Ç) yarısına eşit olacaktır. Çünkü dairenin çevresi dikdörtgenin alt ve üst kenarları arasında eşit olarak bölünmüştür.

$A=a.b$

$A=r.\frac{C}{2}$

$A=r.\frac{\cancel{2}.\pi .r}{\cancel{2}}$

$A=r.\pi .r$

$A=\pi .r^2$

Daire Diliminin Alanını Bulma

Yukarıdaki şekildeki daire diliminin (turuncu renkli bölge) alanın formülü;

$A=\pi .r^2.\frac{\alpha }{360}$

Daire Kesmesinin Alanını Bulma

Yukarıdaki şekildeki daire kesmesinin (turkuaz renkli bölge) alanın formülü;

$A=\pi .r^2.\frac{\alpha }{360}-\frac{1}{2}.r^2.sin\alpha$