e üzeri x'in integrali

e üzeri x'in integralinin ispatı

$\int e^{x}dx=e^x+c$'dir. $e^x$'in integralinin neden $e^x$'e (kendisine) eşit olduğunu aşağıda bazılarını göstereceğimiz bir kaç yoldan ispatlayabiliriz.

1. Yol

$\int e^{x}dx=?$

$e^x=u$ olsun.

$d(e^x)=du$ (eşitliğin her iki tarafının da diferansiyelini alırız)

$(e^x{)}^{\prime }dx=du$

$\boxed{f(x)=e^x\Rightarrow f^{\prime }(x)=e^x}$

$e^{x}dx=du$

$\int e^{x}dx=\int du$ (eşitliğin her iki tarafının da integralini alırız)

$\int dx=x+c\Rightarrow \int du=u+c$ olur.

$\int e^{x}dx=u+c$

$\int e^{x}dx=e^x+c$

2. Yol

$\int e^{x}dx=?$

$e^x=u$ olsun.

$ln{e}^x=lnu$

$x.lne=lnu$

$x.1=lnu$

$x=lnu$

$dx=d(lnu)$ (eşitliğin her iki tarafının da diferansiyelini alırız)

$dx=(lnu{)}^{\prime }du$

$\boxed{f(x)=lng(x)\Rightarrow f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}}$

$dx=\frac{u^{\prime }}{u}.du$

$dx=\frac{1}{u}.du$

$dx=\frac{1.du}{u}$

$dx=\frac{du}{u}$

$\int e^{x}dx=\int \cancel{u}.\frac{du}{\cancel{u}}$

$\int e^{x}dx=\int du$

$\int dx=x+c\Rightarrow \int du=u+c$ olur.

$\int e^{x}dx=u+c$

$\int e^{x}dx=e^x+c$

3. Yol

$e^x$ fonksiyonunun sonsuz seri şeklindeki açılımından faydalanarak da $e^x$'in integralinin kendisine eşit olduğunu ispatlayabiliriz. $e^x$ fonksiyonunun sonsuz seri şeklindeki açılımı aşağıdaki gibidir.

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$

$\int e^{x}dx=\int (1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...)dx$ (eşitliğin her iki tarafının da integralini alırız)

$\boxed{\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c}$

$\int e^{x}dx=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3.2!}+\frac{x^4}{4.3!}+\frac{x^5}{5.4!}+...+c$

$\int e^{x}dx=x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+...+1$ (c=1)

$\int e^{x}dx=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+...$

$\int e^{x}dx=e^x$