y = f(x) = eˣ ⇒ y' = f(x)' = eˣ olur. (ayrıca bakınız lnx'in türevi)
e üzeri x grafiği
e üzeri x türevi ispatı
1. Yol
eˣ Fonksiyonunun türevinin neden kendisine (eˣ fonksiyonuna) eşit olduğunu türevin ikinci tanımından yola çıkarak aşağıdaki şekildeki gibi ispatlayabiliriz.
1. Adım
Yukarıdaki eşitlikte t değeri sıfıra doğru (t → 0) yaklaşırken, h değeri de sıfıra doğru (h → 0) yaklaşır (ln1 = 0).
2. Adım
Yukarıdaki eşitlikte 1/t = n dönüşümü yapılırsa;
t = 1/n olur.
1/t = n eşitliğinde;
t değeri sıfıra doğru (t → 0) yaklaşırken, n değeri sonsuza doğru (n → ∞) yaklaşır.
3. Adım
y = f(x) = eª ⇒ y' = f(x)' = a' . eª olur.
2. Yol
y = f(x) = eˣ Fonksiyonunun sonsuz seri şeklindeki açılımından faydalanarak da eˣ'in türevinin, kendisine eşit olduğunu ispatlayabiliriz.
eˣ Fonksiyonunun soru seri şeklindeki açılımı aşağıdaki gibidir.
İspat
3. Yol
Ln Fonksiyonundan yararlanarak da y = f(x) = eˣ fonksiyonunun türevinin, kendisine eşit olduğunu ispatlayabiliriz.
