Havuz Problemi Formülü

1. Havuz Formülü

Boş bir havuzu A musluğu tek başına t₁ sürede, B musluğu tek başına t₂ sürede dolduruyor. İki musluk birlikte açılırsa havuz 1/t₁+1/t₂ sürede dolar.

Formülün İspatı

Havuzun hacmi V olsun. A musluğu birim zamanda havuzun V/t₁ kadarlık kısmını, B musluğu ise V/t₂ kadarlık kısmını doldurur. İki musluk birlikte açıldıktan t süre sonra havuz dolsun. V hacmine sahip havuzun t süre sonunda A musluğu V₁ kadarlık kısmını, B musluğu ise V₂ kadarlık kısmını doldursun.

$V=V_1+V_2$

$V=\frac{V}{t_1}.t+\frac{V}{t_2}.t$

$V=\frac{V.t}{t_1}+\frac{V.t}{t_2}$

$\cancel{V}=\cancel{V}.(\frac{t}{t_1}+\frac{t}{t_2})$

$1=\frac{t}{t_1}+\frac{t}{t_2}$

$1=t.(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2})$

$\frac{1}{t}=\frac{\cancel{t}.(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2})}{\cancel{t}}$

$\frac{1}{t}=\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}$

Soru

Boş bir havuzu A musluğu tek başına 20 dakikada, B musluğu tek başına 60 dakikada dolduruyor. Başlangıçta boş olan havuz iki musluk birlikte açıldıktan kaç dakika sonra dolar ?

Cevap

$\frac{1}{t}=\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}$

$\frac{1}{t}=\frac{1}{20}+\frac{1}{60}$

$\frac{1}{t}=\frac{60+20}{20.60}$

$\frac{1}{t}=\frac{80}{1200}$

$t=\frac{1200}{80}$

$t=15$ dakika

Yukarıdaki sorunun ikinci bir çözümü daha vardır. Boş bir havuzu A musluğu tek başına 20 dakikada, B musluğu tek başına 60 dakikada dolduruyor ise A musluğunun akış hızı B musluğunun akış hızının 3 katı demektir. Sanki A musluğu 3 tane B musluğundan oluşuyordur. Boş bir havuzu 1 tane B musluğu 60 dakikada dolduruyor ise aynı havuzu 4 tane B musluğu 15 dakikada doldurur. Çünkü musluk sayısı arttıkça havuzun dolum süresi kısalır. Yani musluk sayısı ile havuzun dolum süresi ters orantılıdır.

2. Havuz Formülü

Boş bir havuzu A musluğu tek başına t₁ sürede doldururken, dibindeki bir B musluğu ise aynı havuzun dolusunu tek başına t₂ sürede boşaltıyor. t₁<t₂ olmak üzere, iki musluk birlikte açılırsa havuz 1/t₁-1/t₂ sürede dolar.

Formülün İspatı

Havuzun hacmi V olsun. A musluğu birim zamanda havuzun V/t₁ kadarlık kısmını doldururken, dibindeki B musluğu ise birim zamanda havuzdan V/t₂ kadarlık su boşaltır. İki musluk birlikte açıldıktan t süre sonra havuz dolsun. t süre sonunda A musluğu havuza V₁ kadarlık su akıtırken, B musluğu ise havuzdan V₂ kadarlık su boşaltsın.

$V=V_1-V_2$

$V=\frac{V}{t_1}.t-\frac{V}{t_2}.t$

$V=\frac{V.t}{t_1}-\frac{V.t}{t_2}$

$\cancel{V}=\cancel{V}.(\frac{t}{t_1}-\frac{t}{t_2})$

$1=\frac{t}{t_1}-\frac{t}{t_2}$

$1=t.(\frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_2})$

$\frac{1}{t}=\frac{\cancel{t}.(\frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_2})}{\cancel{t}}$

$\frac{1}{t}=\frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_2}$

Soru

Boş bir havuzu A musluğu tek başına 8 saatte doldururken, dibindeki bir B musluğu ise tek başına aynı havuzun dolusunu 12 saatte boşaltıyor. Başlangıçta boş olan havuz iki musluk birlikte açıldıktan kaç saat sonra dolar ?

Cevap

$\frac{1}{t}=\frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_2}$

$\frac{1}{t}=\frac{1}{8}-\frac{1}{12}$

$\frac{1}{t}=\frac{12-8}{8.12}$

$\frac{1}{t}=\frac{4}{96}$

$t=\frac{96}{4}$

$t=24$ saat

Yukarıdaki sorunun ikinci bir çözümü daha vardır. Boş bir havuzu A musluğu tek başına 8 saatte doldururken, B musluğu tek başına 12 saatte boşaltıyor ise A musluğunun akış hızı B musluğunun akış hızının 1,5 katı demektir. Ancak B musluğu havuzdaki suyu boşalttığı için A musluğu sanki yarım musluk gibi çalışıyordur. Boş bir havuzu 1,5 tane A musluğu 8 saatte dolduruyor ise aynı havuzu 0,5 tane A musluğu 24 saatte doldurur. Çünkü musluk sayısı azaldıkça havuzun dolum süresi uzar. Yani musluk sayısı ile havuzun dolum süresi ters orantılıdır.