İki Doğru Arası Uzaklık

İki Doğru Arası Uzaklık Formülü

Analitik düzlemde birbirine paralel iki doğru arasındaki uzaklık (dik uzaklık) aşağıdaki şekildeki gibi hesaplanır.

$ax+by+c_1=0$

$ax+by+c_2=0$

$d=\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$d$: iki doğru arasındaki uzaklık

İki Doğru Arası Uzaklık Formülünün İspatı

$ACD$ ve $OCB$ üçgenleri $A.A.A.$ bakımımdan benzer üçgenlerdir.

$ACD\backsim OCB$

$\frac{d}{lBOl}=\frac{lCDl}{lBCl}$

$d.lBCl=lBOl.lCDl$

$d=\frac{lBOl.lCDl}{lBCl}$

$lBOl=l-\frac{c_1}{b}l$

$lCDl=l-\frac{c_2}{a}-(-\frac{c_1}{a})l=l-\frac{c_2}{a}+\frac{c_1}{a}l=l\frac{-c_2+c_1}{a}l=l\frac{c_1-c_2}{a}l$

$lBCl=\sqrt{lBO{l}^2+lCO{l}^2}$

$lBCl=\sqrt{(-\frac{c_1}{b}{)}^2+(-\frac{c_1}{a}{)}^2}$

$lBCl=\sqrt{\frac{c_1^2}{b^2}+\frac{c_1^2}{a^2}}$

$lBCl=\sqrt{\frac{c_1^2.a^2+c_1^2.b^2}{a^2.b^2}}$

$lBCl=\sqrt{\frac{c_1^2.(a^2+b^2)}{(a.b{)}^2}}$

$lBCl=\frac{l{c}_{1}l.\sqrt{a^2+b^2}}{la.bl}$

$d=\frac{l-\frac{c_1}{b}l.l\frac{c_1-c_2}{a}l}{\frac{l{c}_{1}l.\sqrt{a^2+b^2}}{la.bl}}$

$d=\frac{\frac{l-c_{1}l}{lbl}.\frac{l{c}_1-c_{2}l}{lal}}{\frac{l{c}_{1}l.\sqrt{a^2+b^2}}{lal.lbl}}$

$d=\frac{\frac{l-c_{1}l.l{c}_1-c_{2}l}{lbl.lal}}{\frac{l{c}_{1}l.\sqrt{a^2+b^2}}{lal.lbl}}$

$d=\frac{l-c_{1}l.l{c}_1-c_{2}l}{lbl.lal}.\frac{lal.lbl}{l{c}_{1}l.\sqrt{a^2+b^2}}$

$\boxed{l-xl=lxl}$ $\boxed{la-bl=lb-al}$

$d=\frac{\cancel{l{c}_{1}l}.l{c}_2-c_{1}l}{\cancel{lbl.}\cancel{lal}}.\frac{\cancel{lal}.\cancel{lbl}}{\cancel{l{c}_{1}l}.\sqrt{a^2+b^2}}$

$d=\frac{l{c}_2-c_{1}l}{\sqrt{a^2+b^2}}$