A. Tam Kare Açılımı
1. Tam Kare Toplamı
Birincinin karesi artı birinci ile ikincinin çarpımının iki katı artı ikincinin karesi şeklindeki ifadeye Tam Kare Toplamı denir.
(a + b)² = a² + 2.a.b + b²'dir. Bu özdeşliğin ispatını aşağıdaki gibi iki şekilde gösterebiliriz.
1. İspatı
"Çarpma İşlemin Toplama İşlemi Üzerindeki Dağılma Özelliği"nden faydalanarak yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.
(a + b)² = (a + b).(a + b)
(a + b)² = a.(a + b) + b.(a + b)
(a + b)² = a.a + a.b + b.a + b.b
(a + b)² = a² + a.b + a.b + b²
(a + b)² = a² + 2.a.b + b² olur.
2. İspatı
Geometri yardımıyla da yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.
Yukarıda bir kenarının uzunluğu a + b olan büyük karenin alanı, iki küçük karenin alanı ile iki eş dikdörtgenin alanının toplamına eşittir. Bu durumu formulü ederek yazarsak;
(a + b)² = a² + a.b + b.a + b²
(a + b)² = a² + a.b + a.b + b²
(a + b)² = a² + 2.a.b + b² olur.
2. Tam Kare Farkı
Birincinin karesi eksi birinci ile ikincinin çarpımının iki katı artı ikincinin karesi şeklindeki ifadeye Tam Kare Farkı denir.
(a - b)² = a² - 2.a.b + b²'dir. Bu özdeşliğin ispatını aşağıdaki gibi iki şekilde gösterebiliriz.
1. İspatı
"Çarpma İşlemin Çıkarma İşlemi Üzerindeki Dağılma Özelliği"nden faydalanarak yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.
(a - b)² = (a - b).(a - b)
(a - b)² = a.(a - b) - b.(a - b)
(a - b)² = a.a + a.-b - b.a - b.-b
(a - b)² = a² - a.b - b.a + b²
(a - b)² = a² - a.b - a.b + b²
(a - b)² = a² - 2.a.b + b² olur.
2. İspatı
Geometri yardımıyla da yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.
Bir kenarının uzunluğu a - b olan sol üst köşedeki karenin alanı, bir kenarının uzunluğu a olan büyük karenin alanından sağ alt köşedeki küçük karenin alanı ile iki eş dikdörtgenin alanının çıkarılması sonucu bulunur. Bu durumu formüle ederek yazarsak;
(a - b)² = a² - (a - b).b - b.(a - b) - b²
(a - b)² = a² - b.(a - b) - b.(a - b) - b²
(a - b)² = a² - b.a - b.-b - b.a - b.-b - b²
(a - b)² = a² - b.a + b² - b.a + b² - b²
(a - b)² = a² - a.b - a.b + b² + b² - b²
(a - b)² = a² - 2.a.b + b² olur.
B. İki Kare Toplamı
Birincinin karesi artı ikincinin karesi şeklindeki ifadeye İki Kare Toplamı denir.
1. a² + b² = (a + b)² - 2.a.b
2. a² + b² = (a - b)² + 2.a.b
C. İki Kare Farkı
Birincinin karesi eksi ikincinin karesi şeklindeki ifadeye İki Kare Farkı denir.
a² - b² = (a + b).(a - b)'dir. Bu özdeşliğin ispatını aşağıdaki gibi iki şekilde gösterebiliriz.
1. İspatı
"Çarpma İşlemin Toplama ve Çıkarma İşlemi Üzerindeki Dağılma Özelliği"nden faydalanarak yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.
(a + b).(a - b) = a.(a - b) + b.(a - b)
(a + b).(a - b) = a.a - a.b + b.a - b.b
(a + b).(a - b) = a² - a.b + a.b - b²
(a + b).(a - b) = a² - b² olur.
2. İspatı
Geometri yardımıyla da yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.
a² - b² = a.(a - b) + (a - b).b
a² - b² = a.(a - b) + b.(a - b)
a² - b² = (a + b).(a - b) olur.
