Kare Açılımı

A. Tam Kare Açılımı

1. Tam Kare Toplamı

Birincinin karesi artı birinci ile ikincinin çarpımının iki katı artı ikincinin karesi şeklindeki ifadeye Tam Kare Toplamı denir.

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²'dir. Bu özdeşliğin ispatını aşağıdaki gibi iki şekilde gösterebiliriz.

1. İspatı

"Çarpma İşlemin Toplama İşlemi Üzerindeki Dağılma Özelliği"nden faydalanarak yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.

(a + b)² = (a + b).(a + b)

(a + b)² = a.(a + b) + b.(a + b)

(a + b)² = a.a + a.b + b.a + b.b

(a + b)² = a² + a.b + a.b + b²

(a + b)² = a² + 2.a.b + b² olur.

2. İspatı

Geometri yardımıyla da yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.

Yukarıda bir kenarının uzunluğu a + b olan büyük karenin alanı, iki küçük karenin alanı ile iki eş dikdörtgenin alanının toplamına eşittir. Bu durumu formulü ederek yazarsak;

(a + b)² = a² + a.b + b.a + b²

(a + b)² = a² + a.b + a.b + b²

(a + b)² = a² + 2.a.b + b² olur.

2. Tam Kare Farkı

Birincinin karesi eksi birinci ile ikincinin çarpımının iki katı artı ikincinin karesi şeklindeki ifadeye Tam Kare Farkı denir.

(a - b)² = a² - 2.a.b + b²'dir. Bu özdeşliğin ispatını aşağıdaki gibi iki şekilde gösterebiliriz.

1. İspatı

"Çarpma İşlemin Çıkarma İşlemi Üzerindeki Dağılma Özelliği"nden faydalanarak yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.

(a - b)² = (a - b).(a - b)

(a - b)² = a.(a - b) - b.(a - b)

(a - b)² = a.a + a.-b - b.a - b.-b

(a - b)² = a² - a.b - b.a + b²

(a - b)² = a² - a.b - a.b + b²

(a - b)² = a² - 2.a.b + b² olur.

2. İspatı

Geometri yardımıyla da yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.

Bir kenarının uzunluğu a - b olan sol üst köşedeki karenin alanı, bir kenarının uzunluğu a olan büyük karenin alanından sağ alt köşedeki küçük karenin alanı ile iki eş dikdörtgenin alanının çıkarılması sonucu bulunur. Bu durumu formüle ederek yazarsak;

(a - b)² = a² - (a - b).b - b.(a - b) - b²

(a - b)² = a² - b.(a - b) - b.(a - b) - b²

(a - b)² = a² - b.a - b.-b - b.a - b.-b - b²

(a - b)² = a² - b.a + b² - b.a + b² - b²

(a - b)² = a² - a.b - a.b + b² + b² - b²

(a - b)² = a² - 2.a.b + b² olur.

B. İki Kare Toplamı

Birincinin karesi artı ikincinin karesi şeklindeki ifadeye İki Kare Toplamı denir.

1. a² + b² = (a + b)² - 2.a.b

2. a² + b² = (a - b)² + 2.a.b

C. İki Kare Farkı

Birincinin karesi eksi ikincinin karesi şeklindeki ifadeye İki Kare Farkı denir.

a² - b² = (a + b).(a - b)'dir. Bu özdeşliğin ispatını aşağıdaki gibi iki şekilde gösterebiliriz.

1. İspatı

"Çarpma İşlemin Toplama ve Çıkarma İşlemi Üzerindeki Dağılma Özelliği"nden faydalanarak yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.

(a + b).(a - b) = a.(a - b) + b.(a - b)

(a + b).(a - b) = a.a - a.b + b.a - b.b

(a + b).(a - b) = a² - a.b + a.b - b²

(a + b).(a - b) = a² - b² olur.

2. İspatı

Geometri yardımıyla da yukarıdaki özdeşliğin ispatını yapabiliriz.

a² - b² = a.(a - b) + (a - b).b

a² - b² = a.(a - b) + b.(a - b)

a² - b² = (a + b).(a - b) olur.