(a + b)² = a² + 2.a.b + b² Eşitliğinin İspatı
1. Yol
Hepimizin bildiği üzere çarpma işlemi toplama işleminin kısaltılmış halidir.
Örneğin, 5 tane 3’ü yan yana toplayarak göstermek istediğimiz de (3 + 3 + 3 + 3 + 3) şeklinde yazmamız gerekir. Ancak bunu (5 x 3) şeklinde de yani 5 tane 3 olarak kısaltarak ta gösterebiliriz.
5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
a x b = b + b + . . . + b + b
(a tane b)
Şimdi (a + b) x (a + b) = (a + b)² = a² + 2ab + b² eşitliğin nereden geldiğini açıklamaya çalışalım.
(a + b) x (a + b) = (a + b) + (a + b) + . . . + (a + b) + (a + b)
(a + b tane a +b)
(a + b) x (a + b) = (a + a + . . . + a + a) + (b + b + . . . + b + b)
(a + b tane a) (a + b tane b)
Yukarıdaki eşitliği çarpma işleminin değişme özelliğinden de faydalanarak (a x b = b x a) aşağıdaki şekildeki gibi de gösterilebiliriz.
(a + b) x (a + b) = [(a + b) + (a + b) + . . . + (a + b) + (a + b)] + [(a + b) + (a + b) + . . . + (a + b) + (a + b)]
(a tane a + b) (b tane a + b)
(a + b) x (a + b) = (a + a + . . . + a + a) + (b + b + . . . + b + b) + (a + a + . . . + a + a) + (b + b + . . . + b + b)
(a tane a) (a tane b) (b tane a) (b tane b)
(a + b) x (a + b) = (a tane a = a x a) + ( a tane b = a x b) + (b tane a = b x a) + ( b tane b = b x b)
(a + b) x (a + b) =a² + a.b + b.a + b²
(a + b) x (a + b) = a² + a.b + a.b + b²
(a + b) x (a + b) = a² + 2.a.b + b² olur.
2. Yol
Geometrik şekilleri kullanarak ta yukarıdaki eşitliğimizi ispatlayabiliriz.
Yukarıda bir kenar uzunluğu (a + b) olan ABCD karesinin alanı;
A (ABCD) = (a + b) x (a + b)’dir.
ABCD karesinin alanı yukarıdaki şekilden de göreceğimiz gibi 1. , 2. , 3. ve 4. şekillerin alanlarının toplamına eşittir.
A (ABCD) = A (Yeşil Şekil) + A (Mavi Şekil) + A (Sarı Şekil) + A (Pembe Şekil)
(a + b) x (a + b) = (b x a) + (a x a) + (a x b) + (b x b)
(a + b) x (a + b) = b.a + a² + a.b + b²
(a + b) x (a + b) = a.b + a² + a.b + b²
(a + b) x (a + b) = a² + 2.a.b + b² olur.
