Kosinüs Teoremi

Kosinüs Teoremi Nedir?

İki kenarı ve bu iki kenarının arasındaki açının ölçüsü bilinen herhangi bir üçgeninin üçüncü kenarını bulmaya yarayan formüle kosinüs teoremi, kosinüs kanunu veya kosinüs yasası denir.

Yukarıdaki şekildeki ABC üçgeninin a, b ve c kenarları için kosinüs teoremini uygularsak aşağıdaki bağıntıları elde ederiz.

a² = b² + c² - 2 . b . c . cosA

b² = a² + c² - 2 . a . c . cosB

c² = a² + b² - 2 . a . b . cosC olur.

Aslında Pisagor teoremi, kosinüs teoreminin özel bir halidir. Çünkü kosinüs bağıntısındaki A, B veya C açısının ölçüsü 90° olursa eşitlik cos90° 0'a eşit olacağından Pisagor teoremine dönüşür.

a² = b² + c² (A = 90°)

b² = a² + c² (B = 90°)

c² = a² + b² (C = 90°)

Kosinüs Teoreminin İspatı

Kosinüs teoreminin ispatını aşağıya çizeceğimiz bir üçgen yardımıyla kolaylıkla gösterebiliriz. Biz sadece b kenarı için ispatını yapacağız siz isterseniz diğer kenarları için ispatını kendiniz yapabilirsiniz.

d + e = a

e = a - d

c² = d² + h² (ADB Üçgeni için Pisagor Teoremi)

b² = e² + h² (ADC Üçgeni için Pisagor Teoremi)

b² = (a - d)² + h²

b² = a² - 2 . a . d + d² + h²

d / c = cosB

d = c . cosB

b² = a² - 2 . a . d + d² + h²

b² = a² - 2 . a . d + c²

b² = a² + c² - 2 . a . d

b² = a² + c² - 2 . a . c . cosB olur.