1. İki Cebirsel İfadenin Toplamının ve Farkının Küpü
a. İki Cebirsel İfadenin Toplamının Küpü
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
1. İspatı
(a + b)³ = (a + b).(a + b).(a + b)'dir.
Çarpma işleminin toplama işlemi üzerindeki dağılma özelliğinden faydalanarak ilk önce (a + b).(a + b) ifadesinin sonucunu bulalım.
(a + b).(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b
(a + b).(a + b) = a.a + a.b + a.b + b.b
(a + b).(a + b) = a² + 2ab + b² olur.
Şimdi de (a + b)³ = (a + b).(a + b).(a + b) ifadesinde (a + b).(a + b) yerine yukarıda bulduğumuz a² + 2ab + b² ifadesini koyalım ve tekrar çarpma işleminin toplama işlemi üzerindeki dağılma özelliğinden faydalanalım.
(a + b)³ = (a + b).(a² + 2ab + b²) = a.a² + a.2ab + a.b² + b.a² + b.2ab + b.b²
(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³
(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
(a + b)³ = a³ + 2a²b + a²b + ab² + 2ab² + b³
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ olur.
2. İspatı
Binom açılımından faydalanarak da (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ özdeşliğini elde edebiliriz.
n ∈ N (Doğal Sayı) ve (a + b) ≠ 0 olmak üzere; yukarıdaki ifadeye Binom Açılımı denir.
(a + b)³ ifadesinin binom açılımına göre açılımı aşağıdaki gibidir.
b. İki Cebirsel İfadenin Farkının Küpü
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ özdeşliğinde, a + b gördüğümüz yere a - b yazalım.
a - b ifadesini, a + (-b) şeklinde de yazabiliriz.
[a + (-b)]³ = a³ + 3a²(-b) + 3a(-b)² + (-b)³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ olur.
2. İki Cebirsel İfadenin Küpünün Toplamı ve Farkı
a. İki Cebirsel İfadenin Küpünün Toplamı
a³ + b³ = (a + b).(a² - ab + b²)
1. İspatı
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)³ - 3a²b - 3ab² = a³ + b³
a³ + b³ = (a + b)³ - 3a²b - 3ab²
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab.(a + b)
a³ + b³ = (a + b)².(a + b) - 3ab.(a + b)
a³ + b³ = (a + b).[(a + b)² - 3ab]
(a + b)² = a² + 2ab + b²
a³ + b³ = (a + b).(a² + 2ab + b² - 3ab)
a³ + b³ = (a + b).(a² + 2ab - 3ab + b²)
a³ + b³ = (a + b).(a² - ab + b²) olur.
2. İspatı
n ∈ Tek Doğal Sayı olmak üzere;
özdeşliğini kullanarak da yukarıdaki eşitliğimizi elde edebiliriz.
b. İki Cebirsel İfadenin Küpünün Farkı
a³ - b³ = (a - b).(a² + ab + b²)
1. İspatı
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a - b)³ + 3a²b - 3ab² = a³ - b³
a³ - b³ = (a - b)³ + 3a²b - 3ab²
a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab.(a - b)
a³ - b³ = (a - b)².(a - b) + 3ab.(a - b)
a³ - b³ = (a - b).[(a - b)² + 3ab]
(a - b)² = a² - 2ab + b²
a³ - b³ = (a - b).(a² - 2ab + b² + 3ab)
a³ - b³ = (a - b).(a² - 2ab + 3ab + b²)
a³ - b³ = (a - b).(a² + ab + b²) olur.
2. İspatı
n ∈ N+ (Sayma Sayısı) olmak üzere;
özdeşliğini kullanarak da yukarıdaki eşitliğimizi elde edebiliriz.
Örnek 1:
(2x + 3y)³ özdeşliğinin açılımı nedir ?
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(2x + 3y)³ = (2x)³ + 3.(2x)².3y + 3.2x.(3y)² + (3y)³
(2x + 3y)³ = 8x³ + 3.4x².3y + 3.2x.9y² + 27y³
(2x + 3y)³ = 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³ olur.
Örnek 2:
Toplamlarının değeri 8, çarpımlarının değeri 15 ve kareleri toplamının değeri 34 olan iki sayının küpleri toplamının değeri kaçtır ?
a + b = 8
a.b = 15
a² + b² = 34
a³ + b³ = (a + b).(a² - a.b + b²)
a³ + b³ = (a + b).(a² + b² - a.b)
a³ + b³ = 8.(34 - 15)
a³ + b³ = 8.19
a³ + b³ = 152 olur.
Örnek 3:
p - q = 4
p³ - q³ = 316
olduğuna göre p.q çarpımının değerini bulunuz ?
(p - q)³ = p³ - 3p²q + 3pq² - q³
(p - q)³ = p³ - q³ - 3p²q + 3pq²
(p - q)³ = p³ - q³ - 3pq.(p - q)
4³ = 316 - 3pq.4
64 = 316 - 12pq
64 - 316 = -12pq
-252 = -12pq
-12pq = -252
pq = -252/-12
pq = 21 olur.
