Küp Açılımı
1. İki Cebirsel İfadenin Toplamının ve Farkının Küpü
a. İki Cebirsel İfadenin Toplamının Küpü
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ olup; bu özdeşliğin nereden geldiğini üç farklı yoldan ispatlayabiliriz.
1. Yol
Üslü sayılarda a³ = a.a.a olduğuna göre;
(a + b)³ = (a + b).(a + b).(a + b) olur.
ilk önce çarpma işleminin toplama işlemi üzerindeki dağılma özelliğinden faydalanarak (a + b).(a + b) ifadesinin sonucunu bulalım.
(a + b).(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b
(a + b).(a + b) = a.a + a.b + a.b + b.b
(a + b).(a + b) = a² + 2ab + b² olur.
Şimdi de (a + b)³ = (a + b).(a + b).(a + b) özdeşliğinde (a + b).(a + b) değerinin yerine yukarıda bulduğumuz a² + 2ab + b² değerini koyalım ve tekrar çarpma işleminin toplama işlemi üzerindeki dağılma özelliğini kullanalım.
(a + b)³ = (a + b).(a + b).(a + b) = (a + b).(a² + 2ab + b²) = a.a² + a.2ab + a.b² + b.a² + b.2ab + b.b²
(a + b)³ = (a + b).(a + b).(a + b) = (a + b).(a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³
(a + b)³ = (a + b).(a + b).(a + b) = (a + b).(a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
(a + b)³ = (a + b).(a + b).(a + b) = (a + b).(a² + 2ab + b²) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ olur.
2. Yol
Binom açılımı yardımı ile de (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ özdeşliğini elde edebiliriz.
n ∈ N (Doğal Sayı) ve (a + b) ≠ 0 olmak üzere yukarıdaki ifadeye Binom Açılımı denir.
(a + b)³ ifadesini binom açılımına göre aşağı açalım.
3. Yol
Pascal üçgeninden faydalanarak ta (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ eşitliğini ispatlayabiliriz.
Yukarıdaki Pascal üçgeninde 0, 1, 2, 3, … sayıları üssü (kuvveti) ifade ederken, üçgenin içindeki sayılar ise kat sayıları ifade etmektedir.
(a + b)³ ifadesinin açılımını bu üçgenden yola çıkarak elde etmeye çalışalım.
Yukarıdaki ifadenin üssünün değeri 3 olduğu için ilk önce sağ taraftaki 3 sayısının karşısına düşen katsayıları sırayla aşağıya yazalım.
1 + 3 + 3 + 1
ikinci olarak a’nın 3. kuvvetinden başlamak üzere 0. kuvvetine kadar olan ifadeleri katsayıların yanına sırasıyla yazalım.
1.a³ + 3.a² + 3.a¹ + 1.a⁰
üçüncü olarak b’nin 0. kuvvetinden başlamak üzere 3. kuvvetine kadar olan ifadeleri a’lı katsayıların yanına sırasıyla yazalım.
1.a³.b⁰ + 3.a².b¹ + 3.a¹.b² + 1.a⁰.b³
Yukarıdaki ifadeyi aşağıdaki şekildeki gibi sadeleştirdiğimiz zaman
1.a³.1 + 3.a².b + 3.a.b² + 1.1.b³
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ sonucuna ulaşırız.
b. İki Cebirsel İfadenin Farkının Küpü
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ özdeşliğinde (a+b) gördüğümüz yere (a-b) yazalım.
(a-b) ifadesini [a+(-b)] şeklinde de yazabiliriz.
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
[a + (-b)]³ = a³ + 3a²(-b) + 3a(-b)² + (-b)³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ olur.
2. İki Cebirsel İfadenin Küpünün Toplamı ve Farkı
a. İki Cebirsel İfadenin Küpünün Toplamı
a³ + b³ = (a + b).(a² - ab + b²) olup; bu özdeşliğin nereden geldiğini iki farklı yoldan ispatlayabiliriz.
1. Yol
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)³ - 3a²b - 3ab² = a³ + b³
a³ + b³ = (a + b)³ - 3a²b - 3ab²
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
a³ + b³ = (a + b)².(a + b) - 3ab(a + b)
a³ + b³ = (a + b).[(a + b)² - 3ab]
(a + b)² = a² + 2ab + b²
a³ + b³ = (a + b).(a² + 2ab + b² - 3ab)
a³ + b³ = (a + b).(a² + 2ab - 3ab + b²)
a³ + b³ = (a + b).(a² - ab + b²) olur.
2. Yol
n bir tek doğal sayı olmak üzere;
özdeşliğini kullanarak ta yukarıdaki eşitliğimizi elde edebiliriz.
b. İki Cebirsel İfadenin Küpünün Farkı
a³ - b³ = (a - b).(a² + ab + b²) olup; bu özdeşliğin nereden geldiğini iki farklı yoldan ispatlayabiliriz.
1. Yol
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a - b)³ + 3a²b - 3ab² = a³ - b³
a³ - b³ = (a - b)³ + 3a²b - 3ab²
a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)
a³ - b³ = (a - b)².(a - b) + 3ab(a - b)
a³ - b³ = (a - b).[(a - b)² + 3ab]
(a - b)² = a² - 2ab + b²
a³ - b³ = (a - b).(a² - 2ab + b² + 3ab)
a³ - b³ = (a - b).(a² - 2ab + 3ab + b²)
a³ - b³ = (a - b).(a² + ab + b²) olur.
2. Yol
n ∈ N+ (Sayma Sayısı) olmak üzere;
özdeşliğini kullanarak ta yukarıdaki eşitliğimizi elde edebiliriz.
