Küp Açılımı (Küp Açılımı Formülü)

1. İki Cebirsel İfadenin Toplamının ve Farkının Küpü

a. İki Cebirsel İfadenin Toplamının Küpü

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

1. İspatı

(a + b)³ = (a + b).(a + b).(a + b)'dir.

Çarpma işleminin toplama işlemi üzerindeki dağılma özelliğinden faydalanarak ilk önce (a + b).(a + b) ifadesinin sonucunu bulalım.

(a + b).(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b

(a + b).(a + b) = a.a + a.b + a.b + b.b

(a + b).(a + b) = a² + 2ab + b² olur.

Şimdi de (a + b)³ = (a + b).(a + b).(a + b) ifadesinde (a + b).(a + b) yerine yukarıda bulduğumuz a² + 2ab + b² ifadesini koyalım ve tekrar çarpma işleminin toplama işlemi üzerindeki dağılma özelliğinden faydalanalım.

(a + b)³ = (a + b).(a² + 2ab + b²) = a.a² + a.2ab + a.b² + b.a² + b.2ab + b.b²

(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³

(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

(a + b)³ = a³ + 2a²b + a²b + ab² + 2ab² + b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ olur.

2. İspatı

Binom açılımından faydalanarak da (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ özdeşliğini elde edebiliriz.

n ∈ N (Doğal Sayı) ve (a + b) ≠ 0 olmak üzere; yukarıdaki ifadeye Binom Açılımı denir.

(a + b)³ ifadesinin binom açılımına göre açılımı aşağıdaki gibidir.

b. İki Cebirsel İfadenin Farkının Küpü

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ özdeşliğinde, a + b gördüğümüz yere a - b yazalım.

a - b ifadesini, a + (-b) şeklinde de yazabiliriz.

[a + (-b)]³ = a³ + 3a²(-b) + 3a(-b)² + (-b)³

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ olur.

2. İki Cebirsel İfadenin Küpünün Toplamı ve Farkı

a. İki Cebirsel İfadenin Küpünün Toplamı

a³ + b³ = (a + b).(a² - ab + b²)

1. İspatı

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a + b)³ - 3a²b - 3ab² = a³ + b³

a³ + b³ = (a + b)³ - 3a²b - 3ab²

a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab.(a + b)

a³ + b³ = (a + b)².(a + b) - 3ab.(a + b)

a³ + b³ = (a + b).[(a + b)² - 3ab]

(a + b)² = a² + 2ab + b²

a³ + b³ = (a + b).(a² + 2ab + b² - 3ab)

a³ + b³ = (a + b).(a² + 2ab - 3ab + b²)

a³ + b³ = (a + b).(a² - ab + b²) olur.

2. İspatı

n ∈ Tek Doğal Sayı olmak üzere;

özdeşliğini kullanarak da yukarıdaki eşitliğimizi elde edebiliriz.

b. İki Cebirsel İfadenin Küpünün Farkı

a³ - b³ = (a - b).(a² + ab + b²)

1. İspatı

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

(a - b)³ + 3a²b - 3ab² = a³ - b³

a³ - b³ = (a - b)³ + 3a²b - 3ab²

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab.(a - b)

a³ - b³ = (a - b)².(a - b) + 3ab.(a - b)

a³ - b³ = (a - b).[(a - b)² + 3ab]

(a - b)² = a² - 2ab + b²

a³ - b³ = (a - b).(a² - 2ab + b² + 3ab)

a³ - b³ = (a - b).(a² - 2ab + 3ab + b²)

a³ - b³ = (a - b).(a² + ab + b²) olur.

2. İspatı

n ∈ N+ (Sayma Sayısı) olmak üzere;

özdeşliğini kullanarak da yukarıdaki eşitliğimizi elde edebiliriz.

Örnek 1:

(2x + 3y)³ özdeşliğinin açılımı nedir ?

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(2x + 3y)³ = (2x)³ + 3.(2x)².3y + 3.2x.(3y)² + (3y)³

(2x + 3y)³ = 8x³ + 3.4x².3y + 3.2x.9y² + 27y³

(2x + 3y)³ = 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³ olur.

Örnek 2:

Toplamlarının değeri 8, çarpımlarının değeri 15 ve kareleri toplamının değeri 34 olan iki sayının küpleri toplamının değeri kaçtır ?

a + b = 8

a.b = 15

a² + b² = 34

a³ + b³ = (a + b).(a² - a.b + b²)

a³ + b³ = (a + b).(a² + b² - a.b)

a³ + b³ = 8.(34 - 15)

a³ + b³ = 8.19

a³ + b³ = 152 olur.

Örnek 3:

p - q = 4

p³ - q³ = 316

olduğuna göre p.q çarpımının değerini bulunuz ?

(p - q)³ = p³ - 3p²q + 3pq² - q³

(p - q)³ = p³ - q³ - 3p²q + 3pq²

(p - q)³ = p³ - q³ - 3pq.(p - q)

4³ = 316 - 3pq.4

64 = 316 - 12pq

64 - 316 = -12pq

-252 = -12pq

-12pq = -252

pq = -252/-12

pq = 21 olur.