Kürenin Hacmi

Küre Nedir ? (Kürenin Tanımı)

Üç boyutlu uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar kümesini oluşturduğu geometrik şekle küre denir. sabit noktaya kürenin merkezi, kürenin merkezi ile yüzeyi üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki uzaklığa ise kürenin yarı çapı denir. Küre, köşesi ve kenarı olmayan ilginç bir şekildir. Kendisi ile aynı yüzey alanına sahip geometrik şekiller arasında en büyük hacme sahiptir.

Kürenin Hacim Formülü

Yukarıdaki O merkezli, r yarıçaplı kürenin hacmi;

Hacim = 4.π.r³/3

Tarihte kürenin hacmini hesapladığı bilinen ilk kişi, M.Ö. 287-212 arasında yaşamış olan Sicilya doğumlu ünlü Eski Yunanlı matematikçi ve mühendis Arşimet'tir.

Kürenin Hacmi Nasıl Bulunur ?

Kürenin hacim formülü olan 4.π.r³/3'ün nereden geldiğini aşağıdaki şekildeki gibi ispatlayabiliriz.

Bir kürenin hacmini doğrudan hesaplamak mümkün olmadığından ilk önce onu hacmini kolayca hesaplayabileceğimiz veya hacim formülünü bildiğimiz eşit yükseklikte sonsuz sayıda silindir şeklinde dilimlere ayırırız.

Yukarıdaki silindirin hacmi;

Hacim = Taban Alanı x Yükseklik

V = π.r².h

Küremizin yarıçapına r dersek, sonsuz incelikteki her bir silindir diliminin yüksekliği r/n olur. dr = r/n'dir. Buradaki "n" sonsuz büyüklükte bir değeri ifade eder iken "dr" ise sonsuz küçüklükte bir değeri ifade eder.

Yukarıdaki şekildeki r yarıçaplı silindirden başlamak üzere bütün silindirlerin hacimlerini sırasıyla toplayalım.

Örnek 1

Yarıçapının uzunluğu 6 cm olan bir kürenin hacmini bulunuz ? (π = 3,14)

V = 4.π.r³/3

V = 4.3,14.(6 cm)³/3

V = 4.3,14.216 cm³/3

V = 2712,96 cm³/3

V = 904,32 cm³

Örnek 2

Yarıçapları oranı 2 olan iki kürenin hacimleri oranı ne olur ?

1. kürenin yarıçapına r dersek, 2. kürenin yarıçapı 2r olur.

V1 = 4.π.r³/3

V2 = 4.π.(2r)³/3 = 4.π.8r³/3 = 32.π.r³/3

π.r³/3 = 1 olsun.

V1 = 4

V2 = 32 olur.

V1/V2 = 4/32

V1/V2 = 1/8

Kürenin Yüzey Alanı Formülü

Yarıçapının uzunluğu r olan bir kürenin yüzey alanının değeri;

Alan = 4.π.r²'dir.

Örnek 3

Yarıçapının uzunluğu 5 cm olan bir kürenin yüzey alanının değerini bulunuz ? (π = 3,14)

A = 4.π.r²

A = 4.3,14.(5 cm)²

A = 4.3,14.25 cm²

A = 314 cm²

Örnek 4

Yüzey alanının büyüklüğü 36π cm² olan bir kürenin hacminin değeri ne olur ?

4πr² = A

4πr² = 36π cm²

r² = 36π cm²/4π

r² = 9 cm²

√r² = √9 cm²

r = 3 cm

V = 4.π.r³/3

V = 4.π.(3 cm)³/3

V = 4.π.27 cm³/3

V = 108π cm³/3

V = 36π cm³