ln x integrali (ln x in integrali)
Lnx fonksiyonunun integralini kısmi integral (kısmi integrasyon, parçalı integral) yönteminden faydalanarak aşağıdaki şekildeki gibi hesaplayabiliriz. (bakınız kısmi integral)
u ve v türevlenebilir (türevi alınabilir) iki fonksiyon olsun.
∫ u.dv = u.v - ∫ v.du olur.
Şimdi yukarıdaki formülden yararlanarak ∫ lnx.dx integralinin sonucunu bulalım.
∫ lnx.dx = ?
u = lnx ve dv = dx olsun.
u = lnx
du = d(lnx) (eşitliğin her iki tarafının da diferansiyelini alırız)
u'.du = (lnx)'.dx
1.du = x'/x.dx
du = 1/x.dx olur.
dv = dx
∫ dv = ∫ dx (eşitliğin her iki tarafının da integralini alırız)
v = x olur.
∫ u.dv = u.v - ∫ v.du
∫ lnx.dx = lnx.x - ∫ x.1/x.dx
∫ lnx.dx = lnx.x - ∫ dx
∫ lnx.dx = lnx.x - x + c olur.
Sağlaması
(lnx.x - x + c)' = lnx
(lnx.x)' - x' + c' = lnx
(lnx)'.x + x'.lnx - 1 + 0 = lnx
x'/x.x + 1.lnx - 1 = lnx
1/x.x + lnx - 1 = lnx
x/x + lnx - 1 = lnx
1 + lnx - 1 = lnx
lnx = lnx olur.
