lnx integrali (lnx in integrali)

ln x integrali (ln x in integrali)

Lnx fonksiyonunun integralini kısmi integral (kısmi integrasyon, parçalı integral) yönteminden faydalanarak aşağıdaki şekildeki gibi hesaplayabiliriz. ( bakınız kısmi integral )

u ve v türevlenebilir (türevi alınabilir) iki fonksiyon olsun.

 ∫ u.dv = u.v - ∫ v.du olur.

Şimdi yukarıdaki formülden yararlanarak ∫ lnx.dx integralinin sonucunu bulalım.

∫ lnx.dx = ?

u = lnx ve dv = dx olsun.

u = lnx

du = d(lnx) (eşitliğin her iki tarafının da diferansiyelini alırız)

u'.du = (lnx)'.dx

1.du = x'/x.dx

du = 1/x.dx olur.

dv = dx

∫ dv = ∫ dx (eşitliğin her iki tarafının da integralini alırız)

v = x olur.

∫ u.dv = u.v - ∫ v.du

∫ lnx.dx = lnx.x - ∫ x.1/x.dx

∫ lnx.dx = lnx.x - ∫ dx

∫ lnx.dx = lnx.x - x + c olur.

Sağlaması

(lnx.x - x + c)' = lnx

(lnx.x)' - x' + c' = lnx

(lnx)'.x + x'.lnx - 1 + 0 = lnx

x'/x.x + 1.lnx - 1 = lnx

1/x.x + lnx - 1 = lnx

x/x + lnx - 1 = lnx

1 + lnx - 1 = lnx

lnx = lnx olur.