ln in anlamı
Yeni Latince'de (Neo-Latince veya Modern Latince), "doğal logaritma" anlamına gelen logarithmus naturalis sözcüğünün ilk harflarinden (l ve n) türetilmiştir. İnsanlar tarafından sonradan üretilen 2'lik, 5'lik, 10'luk veya 60'lık gibi bir sayı tabanı olmayıp kendiliğinden (doğal olarak) ortaya çıkan bir sayı tabanı olduğu için kendisine bu isim verilmiştir.
e tabanına göre 0'dan büyük bir x sayısının logaritması (üssü), lnx'e eşittir. Buradaki e, π gibi irrasyonel bir sayıdır. İlk birkaç basamağı 2.718281... şekinde olup, sonsuza kadar devam eder.
Örneğin e (2.718281...) tabanına göre 5 sayısının logaritması veya üssü ln5'e eşittir. ln5'in sonucunun kaça eşit olacağını bulmak için çok fonksiyonlu bir hesap makinesinde önce ln tuşuna sonra da 5'e basarsak 1,6094... sonucunu elde ederiz.
e için yazılabilecek birkaç önemli eşitlik aşağıda gösterilmiştir.
Ln için yazılabilecek bazı önemli eşitlikler aşağıda gösterilmiştir.
lnx grafiği
lnx türevi ispatı
y = f(x) = lnx (x>0) ⇒ y' = f(x)' = 1/x'dir.
lnx Fonksiyonunun türevinin neden 1/x fonksiyonuna eşit olduğunu türevin ikinci tanımından yola çıkarak aşağıdaki şekildeki gibi ispatlayabiliriz.
1. Adım
Yukarıdaki eşitlikte hem payı hem de paydayı x/h ile çarpalım.
2. Adım
Yukarıdaki eşitlikte x/h = n dönüşümü yapılırsa;
h/x = 1/n olur.
x/h = n eşitliğinde;
h değeri sıfıra doğru (h → 0) yaklaşırken, n değeri sonsuza doğru (n → ∞) yaklaşır.
3. Adım
y = f(x) = lna ⇒ y' = f(x)' = a'/a olur.
Ln Fonksiyonu karmaşık gibi görünen çok sayıdaki fonksiyonun türevinin bulunmasında oldukça kullanışlıdır. Örneğin, y = u . v şeklindeki bir fonksiyonun türevi (çarpımın türevi), y' = u' . v + v' . u'dur.
Ln Fonksiyonunu kullanarak yukarıdaki eşitliği kolay bir şekilde ispatlayabiliriz.
ln türev soruları
Örnek 1
f(x) = lnx³ ise f(x)' = ?
f(x) = lnx³
f(x)' = (x³)'/x³
f(x)' = 3x²/x³
f(x)' = 3/x
Örnek 2
f(x) = ln (x³ - 2x² + 4x - 7) ise f(1)' = ?
f(x) = ln (x³ - 2x² + 4x - 7)
f(x)' = (x³ - 2x² + 4x - 7)'/(x³ - 2x² + 4x - 7)
f(x)' = (3x² - 4x + 4)/(x³ - 2x² + 4x - 7)
f(1)' = (3 . 1² - 4 . 1 + 4)/(1³ - 2 . 1² + 4 . 1 - 7)
f(1)' = (3 - 4 + 4)/(1 - 2 + 4 - 7)
f(1)' = (7 - 4)/(5 - 9)
f(1)' = 3/-4
f(1)' = - 3/4
