Logaritma Kuralları (Logaritma Ăzellikleri)
Pow
Logaritma Nedir ? Logaritma sözcĂŒÄĂŒ, Eski Yunanca'da "oran" anlamına gelen λÏÎłÎżÏ (lĂłgos) ile "sayı" anlamına gelen αÏÎčΞΌÏÏ (arithmĂłs) sözcĂŒklerinden tĂŒretil
Logaritma Nedir ?
Logaritma sözcĂŒÄĂŒ, Eski Yunanca'da "oran" anlamına gelen λÏÎłÎżÏ (lĂłgos) ile "sayı" anlamına gelen αÏÎčΞΌÏÏ (arithmĂłs) sözcĂŒklerinden tĂŒretilmiĆtir.
ĂrneÄin 625 sayısını, 5x5x5x5 veya 5⎠Ćeklinde de yazabiliriz. 5'in ĂŒzerindeki 4 sayısı, 5'in yan yana kaç kere kendi kendisiyle çarpılacaÄını gösterir. Burada 5'e taban, 4 ise ĂŒs veya kuvvet denir. 5⎠ifadesi, "5 ĂŒzeri 4" veya "5 ĂŒssĂŒ 4" Ćeklinde okunur.
ĂslĂŒ sayılarda ĂŒs veya kuvvete, logaritma da denir. Logaritma genelde log Ćeklinde ifade edilir. 5⎠= 625 ise 625'in 5 tabanına göre logaritması 4'tĂŒr. logâ 625 = 4 İfadesi, "5 tabanına göre 625'in logaritması 4'tĂŒr" Ćeklinde okunur. Logaritma bir ĂŒs (kuvvet) bulma iĆlemidir.
2â· = 128 â logâ 128 = 7
6Âł = 216 â logâ 216 = 3
10â” = 10000 â logââ 10000 = 5
5â° = 1 â logâ 1 = 0
9â°ââ” = 3 â logâ 3 = 0.5 = 1/2
16â°âÂČâ” = 2 â logââ 2 = 0.25 = 1/4
Logaritmanın deÄeri sıfır veya sıfırdan bĂŒyĂŒk kesirli bir sayı olabileceÄi gibi sıfırdan kĂŒĂ§ĂŒk bir sayı da olabilir.
2âž (256) Sayısının karekökĂŒ 2⎠(16) sayısına eĆittir. Buradan, bir sayının karekökĂŒnĂŒ bulmak istediÄimizde logaritmasını ikiye bölmemiz gerektiÄini anlarız. ĂĂŒnkĂŒ 256 sayısının 2 tabanına göre logaritması olan 8'i ikiye bölersek, 16 sayısının 2 tabanına göre logaritması olan 4'ĂŒ elde ederiz. 5â¶ (15625) sayısının kĂŒpkökĂŒ 5ÂČ (25) sayısına eĆittir. Buradan, bir sayının kĂŒpkökĂŒnĂŒ bulmak istediÄimizde logaritmasını ĂŒĂ§e bölmemiz gerektiÄini anlarız. ĂĂŒnkĂŒ 15625 sayısının 5 tabanına göre logaritması olan 6'yı ĂŒĂ§e bölersek, 25 sayısının 5 tabanına göre logaritması olan 2'yi elde ederiz.
Logaritma Fonksiyonunun Tanımı
a Ï” Râș ve a â 1 olmak ĂŒzere, f: R â Râș, y = f(x) = xá” ĂŒstel fonksiyonunun tersi olan fâ»Âč: Râș â R , y = f(x) = logâ x fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.
BayaÄı Logaritma ve DoÄal Logaritma
Tabanın 10 olduÄu logaritmaya, bayaÄı logaritma denir. BayaÄı logaritma fonksiyonu y = f(x) = logââ x yerine daha çok y = f(x) = log x Ćeklinde gösterilir. Tabanın e (2.7182818284...) olduÄu logaritmaya ise doÄal logaritma denir. DoÄal logaritma fonksiyonu ise y = f(x) = logâ x yerine daha çok y = f(x) = ln x Ćeklinde gösterilir.
Logaritma Fonksiyonunun GrafiÄi
Logaritma Fonksiyonunun Ăzellikleri
1. Her tabana göre 1'in logaritması 0'dır.
a Ï” Râș ve a â 1 olmak ĂŒzere; logâ 1 = 0
logâ 1 = m olsun.
aá” = 1 olur.
aâ° = k olsun. (x, k â 0)
aâ°/k = k/k
aâ°/aâ° = 1
aâ°â»â° = 1
aâ° = 1
aá” = aâ°
m = 0 olur.
Ărnek: logâ 1 = 0, logâ 1 = 0, log 1 = 0, ln 1 = 0
2. 1'den farklı her pozitif tam sayının kendi tabanına göre logaritması 1'e eĆittir.
a Ï” Râș ve a â 1 olmak ĂŒzere; logâ a = 1
logâ a = m olsun.
aá” = a olur.
aá” = aÂč
m = 1 olur.
Ărnek: logâ 3 = 1, logâ 9 = 1, log 10 = 1, ln e = 1
3. Tabanları aynı iki sayının çarpımının logaritması, sayıların ayrı ayrı logaritmalarının toplamına eĆittir. Aynı ifadeyi tersten söylersek tabanları aynı iki sayının logaritmalarının toplamı, sayıların çarpımının logaritmasına eĆittir.
a, x ve y Ï” Râș ve a â 0 olmak ĂŒzere; logâ (x.y) = logâ x + logâ y
logâ x = m ve logâ y = n olsun.
aá” = x ve aâż = y olur.
x.y = aá”.aâż
x.y = aá”âșâż
x.y = aá” olsun.
logâ (x.y) = t olur.
aá” = aá”âșâż
t = m + n
logâ (x.y) = logâ x + logâ y olur.
Ărnek: logâ (8.32) = ?
logâ (8.32) = logâ 8 + logâ 32
logâ (8.32) = 3 + 5
logâ (8.32) = 8
4. Tabanları aynı iki sayının bölĂŒmĂŒnĂŒn logaritması, sayıların ayrı ayrı logaritmalarının farkına eĆittir. Aynı ifadeyi tersten söylersek tabanları aynı iki sayının logaritmalarının farkı, sayıların bölĂŒmĂŒnĂŒn logaritmasına eĆittir.
a, x ve y Ï” Râș ve a, y â 0 olmak ĂŒzere; logâ (x/y) = logâ x - logâ y
logâ x = m ve logâ y = n olsun.
aá” = x ve aâż = y olur.
x/y = aá”/aâż
x/y = aá”â»âż
x/y = aá” olsun.
logâ (x/y) = t olur.
aá” = aá”â»âż
t = m - n
logâ (x/y) = logâ x - logâ y olur.
Ărnek: logâ (243/27) = ?
logâ (243/27) = logâ 243 - logâ 27
logâ (243/27) = 5 - 3
logâ (243/27) = 2
5. ĂslĂŒ bir ifadenin logaritması alınırken ĂŒs dıĆarı çıkarılarak da logaritma alınabilir.
a ve b Ï” Râș, m Ï” R olmak ĂŒzere; logâ bá” = m.logâ b
bá” = b.b.b...b (m tane b)
logâ bá” = logâ (b.b.b...b)
logâ (x.y) = logâ x + logâ y
logâ bá” = logâ b + logâ b + logâ b + . . . + logâ b (m tane logâ b)
logâ bá” = m.logâ b
Ărnek: logâ 3â” = 5.logâ 3, logâ â9 = 1/3.logâ 9, Logâ 5â»â¶ = -6.Logâ 5
6. Tabanı ĂŒslĂŒ bir ifadenin logaritması alınırken ĂŒs çarpma iĆlemine göre ters çevrilip dıĆarı alınarak da logaritma alınabilir.
a ve b Ï” Râș, n Ï” R ve n â 0 olmak ĂŒzere; logââż b = 1/n.logâ b
logââż b = m olsun.
(aâż)á” = b olur.
aâżá” = b
aá” = bÂčËžâż
logâ bÂčËžâż = m
logâ bá” = m.logâ b
1/n.logâ b = m
1/n.logâ b = logââż b
Ărnek: logâ Âł 100 = 1/3.logâ 100, logââ” 30 = 1/5.logâ 30, logâââ»âŽ 25 = -1/4.logââ 25
7. Yukarıdaki iki formĂŒlĂŒ birleĆtirirsek;
logââż bá” = m.logââż b
logââż bá” = m.1/n.logâ b
logââż bá” = m/n.logâ b olur.
Ărnek: Logâ ⎠2â· = 7/4.Logâ 2, logâÂČ 5Âł = 3/2.logâ 5, Logââ” 10ÂČ = 2/5.Logâ 10
8. Taban ile sayı yer deÄiĆtirirse çarpma iĆlemine göre önceki logaritmanın tersi elde edilir.
a ve x Ï” Râș olmak ĂŒzere; logâ a = 1/logâ x
logâ x = y olsun.
aÊž = x olur.
logâ a = logâÊž a
logâ a = 1/y.logâ a
logâ a = 1/y.1
logâ a = 1/y
logâ a = 1/logâ x
Ărnek: logâ 5 = 1/logâ 2, logââ 7 = 1/logâ 10, logâ 3 = 1/logâ 9
9. Logaritmada taban deÄiĆikliÄi;
a, b ve x Ï” Râș olmak ĂŒzere; logâ b = logâ b/logâ a
logâ b = m ve logâ a = n olsun.
xá” = b ve xâż = a olur.
logâ b = logââż xá”
logâ b = m/n.logâ x
logâ b = m/n.1
logâ b = m/n
logâ b = logâ b/logâ a
Ărnek: logâ 8 = ?
Ortak tabanı 10 seçelim.
logâ 8 = logââ 8/logââ 3
logâ 8 = log 8/log 3
Share Your Expertise, Earn Rewards!
Found this insightful? Imagine your knowledge generating income. Contribute your articles to bylge.com and connect with readers while unlocking your earning potential.