bylge-logo

    Bylge

    Logaritma Kuralları (Logaritma Özellikleri)

    Picture of the Pow

    Pow

    December 09, 2023

    Logaritma Nedir ? Logaritma sözcĂŒÄŸĂŒ, Eski Yunanca'da "oran" anlamına gelen Î»ÏŒÎłÎżÏ‚ (lĂłgos) ile "sayı" anlamına gelen αρÎčΞΌός (arithmĂłs) sözcĂŒklerinden tĂŒretil


    Logaritma_Kuralları_(Logaritma_Özellikleri)


    Logaritma Nedir ?


    Logaritma sözcĂŒÄŸĂŒ, Eski Yunanca'da "oran" anlamına gelen Î»ÏŒÎłÎżÏ‚ (lĂłgos) ile "sayı" anlamına gelen αρÎčΞΌός (arithmĂłs) sözcĂŒklerinden tĂŒretilmißtir.


    Örneğin 625 sayısını, 5x5x5x5 veya 5⁎ ßeklinde de yazabiliriz. 5'in ĂŒzerindeki 4 sayısı, 5'in yan yana kaç kere kendi kendisiyle çarpılacağını gösterir. Burada 5'e taban, 4 ise ĂŒs veya kuvvet denir. 5⁎ ifadesi, "5 ĂŒzeri 4" veya "5 ĂŒssĂŒ 4" ßeklinde okunur.


    ÜslĂŒ sayılarda ĂŒs veya kuvvete, logaritma da denir. Logaritma genelde log ßeklinde ifade edilir. 5⁎ = 625 ise 625'in 5 tabanına göre logaritması 4'tĂŒr. log₅ 625 = 4 İfadesi, "5 tabanına göre 625'in logaritması 4'tĂŒr" ßeklinde okunur. Logaritma bir ĂŒs (kuvvet) bulma ißlemidir.


    2⁷ = 128 ⇔ log₂ 128 = 7

    6³ = 216 ⇔ log₆ 216 = 3

    10⁔ = 10000 ⇔ log₁₀ 10000 = 5

    5⁰ = 1 ⇔ log₅ 1 = 0

    9⁰∙⁔ = 3 ⇔ log₉ 3 = 0.5 = 1/2

    16⁰∙ÂČ⁔ = 2 ⇔ log₁₆ 2 = 0.25 = 1/4


    Logaritmanın değeri sıfır veya sıfırdan bĂŒyĂŒk kesirli bir sayı olabileceği gibi sıfırdan kĂŒĂ§ĂŒk bir sayı da olabilir.


    2⁞ (256) Sayısının karekökĂŒ 2⁎ (16) sayısına eßittir. Buradan, bir sayının karekökĂŒnĂŒ bulmak istediğimizde logaritmasını ikiye bölmemiz gerektiğini anlarız. Ă‡ĂŒnkĂŒ 256 sayısının 2 tabanına göre logaritması olan 8'i ikiye bölersek, 16 sayısının 2 tabanına göre logaritması olan 4'ĂŒ elde ederiz. 5⁶ (15625) sayısının kĂŒpkökĂŒ 5ÂČ (25) sayısına eßittir. Buradan, bir sayının kĂŒpkökĂŒnĂŒ bulmak istediğimizde logaritmasını ĂŒĂ§e bölmemiz gerektiğini anlarız. Ă‡ĂŒnkĂŒ 15625 sayısının 5 tabanına göre logaritması olan 6'yı ĂŒĂ§e bölersek, 25 sayısının 5 tabanına göre logaritması olan 2'yi elde ederiz.


    Logaritma Fonksiyonunun Tanımı


    a Ï” Râș ve a ≠ 1 olmak ĂŒzere, f: R → Râș, y = f(x) = xᔃ ĂŒstel fonksiyonunun tersi olan f⁻Âč: Râș → R , y = f(x) = logₐ x fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.


    Bayağı Logaritma ve Doğal Logaritma


    Tabanın 10 olduğu logaritmaya, bayağı logaritma denir. Bayağı logaritma fonksiyonu y = f(x) = log₁₀ x yerine daha çok y = f(x) = log x ßeklinde gösterilir. Tabanın e (2.7182818284...) olduğu logaritmaya ise doğal logaritma denir. Doğal logaritma fonksiyonu ise y = f(x) = logₑ x yerine daha çok y = f(x) = ln x ßeklinde gösterilir.


    Logaritma Fonksiyonunun Grafiği


    Logaritma_Kuralları_(Logaritma_Özellikleri)


    Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri


    1. Her tabana göre 1'in logaritması 0'dır.

    a Ï” Râș ve a ≠ 1 olmak ĂŒzere; logₐ 1 = 0


    logₐ 1 = m olsun.

    aᔐ = 1 olur.

    a⁰ = k olsun. (x, k ≠ 0)

    a⁰/k = k/k

    a⁰/a⁰ = 1

    a⁰⁻⁰ = 1

    a⁰ = 1

    aᔐ = a⁰

    m = 0 olur.


    Örnek: log₂ 1 = 0, log₅ 1 = 0, log 1 = 0, ln 1 = 0


    2. 1'den farklı her pozitif tam sayının kendi tabanına göre logaritması 1'e eßittir.

    a Ï” Râș ve a ≠ 1 olmak ĂŒzere; logₐ a = 1


    logₐ a = m olsun.

    aᔐ = a olur.

    aᔐ = aÂč

    m = 1 olur.


    Örnek: log₃ 3 = 1, log₉ 9 = 1, log 10 = 1, ln e = 1


    3. Tabanları aynı iki sayının çarpımının logaritması, sayıların ayrı ayrı logaritmalarının toplamına eßittir. Aynı ifadeyi tersten söylersek tabanları aynı iki sayının logaritmalarının toplamı, sayıların çarpımının logaritmasına eßittir.

    a, x ve y Ï” Râș ve a ≠ 0 olmak ĂŒzere; logₐ (x.y) = logₐ x + logₐ y


    logₐ x = m ve logₐ y = n olsun.

    aᔐ = x ve aⁿ = y olur.

    x.y = aᔐ.aⁿ

    x.y = aᔐâșⁿ

    x.y = aá”— olsun.

    logₐ (x.y) = t olur.

    aá”— = aᔐâșⁿ

    t = m + n

    logₐ (x.y) = logₐ x + logₐ y olur.


    Örnek: log₂ (8.32) = ?

    log₂ (8.32) = log₂ 8 + log₂ 32

    log₂ (8.32) = 3 + 5

    log₂ (8.32) = 8


    4. Tabanları aynı iki sayının bölĂŒmĂŒnĂŒn logaritması, sayıların ayrı ayrı logaritmalarının farkına eßittir. Aynı ifadeyi tersten söylersek tabanları aynı iki sayının logaritmalarının farkı, sayıların bölĂŒmĂŒnĂŒn logaritmasına eßittir.

    a, x ve y Ï” Râș ve a, y ≠ 0 olmak ĂŒzere; logₐ (x/y) = logₐ x - logₐ y


    logₐ x = m ve logₐ y = n olsun.

    aᔐ = x ve aⁿ = y olur.

    x/y = aᔐ/aⁿ

    x/y = aᔐ⁻ⁿ

    x/y = aá”— olsun.

    logₐ (x/y) = t olur.

    aá”— = aᔐ⁻ⁿ

    t = m - n

    logₐ (x/y) = logₐ x - logₐ y olur.


    Örnek: log₃ (243/27) = ?

    log₃ (243/27) = log₃ 243 - log₃ 27

    log₃ (243/27) = 5 - 3

    log₃ (243/27) = 2


    5. ÜslĂŒ bir ifadenin logaritması alınırken ĂŒs dıßarı çıkarılarak da logaritma alınabilir.

    a ve b Ï” Râș, m Ï” R olmak ĂŒzere; logₐ bᔐ = m.logₐ b


    bᔐ = b.b.b...b (m tane b)

    logₐ bᔐ = logₐ (b.b.b...b)

    logₐ (x.y) = logₐ x + logₐ y

    logₐ bᔐ = logₐ b + logₐ b + logₐ b + . . . + logₐ b (m tane logₐ b)

    logₐ bᔐ = m.logₐ b


    Örnek: log₆ 3⁔ = 5.log₆ 3, log₅ ∛9 = 1/3.log₅ 9, Log₄ 5⁻⁶ = -6.Log₄ 5


    6. Tabanı ĂŒslĂŒ bir ifadenin logaritması alınırken ĂŒs çarpma ißlemine göre ters çevrilip dıßarı alınarak da logaritma alınabilir.

    a ve b Ï” Râș, n Ï” R ve n ≠ 0 olmak ĂŒzere; logₐⁿ b = 1/n.logₐ b


    logₐⁿ b = m olsun.

    (aⁿ)ᔐ = b olur.

    aⁿᔐ = b

    aᔐ = bÂč˞ⁿ

    logₐ bÂč˞ⁿ = m

    logₐ bᔐ = m.logₐ b

    1/n.logₐ b = m

    1/n.logₐ b = logₐⁿ b


    Örnek: log₅³ 100 = 1/3.log₅ 100, log₂⁔ 30 = 1/5.log₂ 30, log₁₀⁻⁎ 25 = -1/4.log₁₀ 25


    7. Yukarıdaki iki formĂŒlĂŒ birleßtirirsek;

    logₐⁿ bᔐ = m.logₐⁿ b

    logₐⁿ bᔐ = m.1/n.logₐ b

    logₐⁿ bᔐ = m/n.logₐ b olur.


    Örnek: Log₅ 2⁷ = 7/4.Log₅ 2, log₃ÂČ 5Âł = 3/2.log₃ 5, Log₄⁔ 10ÂČ = 2/5.Log₄ 10


    8. Taban ile sayı yer değißtirirse çarpma ißlemine göre önceki logaritmanın tersi elde edilir.

    a ve x Ï” Râș olmak ĂŒzere; logₓ a = 1/logₐ x


    logₐ x = y olsun.

    aÊž = x olur.

    logₓ a = logₐʞ a

    logₓ a = 1/y.logₐ a

    logₓ a = 1/y.1

    logₓ a = 1/y

    logₓ a = 1/logₐ x


    Örnek: log₂ 5 = 1/log₅ 2, log₁₀ 7 = 1/log₇ 10, log₉ 3 = 1/log₃ 9


    9. Logaritmada taban değißikliği;

    a, b ve x Ï” Râș olmak ĂŒzere; logₐ b = logₓ b/logₓ a


    logₓ b = m ve logₓ a = n olsun.

    xᔐ = b ve xⁿ = a olur.

    logₐ b = logₓⁿ xᔐ

    logₐ b = m/n.logₓ x

    logₐ b = m/n.1

    logₐ b = m/n

    logₐ b = logₓ b/logₓ a


    Örnek: log₃ 8 = ?

    Ortak tabanı 10 seçelim.

    log₃ 8 = log₁₀ 8/log₁₀ 3

    log₃ 8 = log 8/log 3

    Share Your Expertise, Earn Rewards!

    Found this insightful? Imagine your knowledge generating income. Contribute your articles to bylge.com and connect with readers while unlocking your earning potential.