Öklid Teoremi (Öklid Bağıntısı)
Öklit Teoremi (Öklit Bağıntısı)
Bir dik üçgende 90 derece değerindeki açının bulunduğu köşeden hipotenüse bir dikme inilirse iki tane yeni dik üçgen oluşur. Oluşan yeni dik üçgenler ile ilk dik üçgen Açı - Açı - Açı (AAA) bakımından benzer üçgenlerdir. Bu üçgenlerden yararlanarak elde edilen bağıntılara Öklit bağıntısı denir.
1. Öklid'in Yükseklik Bağıntısı
h² = m.n
İspat
Yukarıdaki şekil de ABH, AHC ve ABC bir dik üçgendir.
Pisagor Teoremine göre;
ABH üçgeni için h² + m² = c²
AHC üçgeni için h² + n² = b²
ABC üçgeni için b² + c² = a²'dir.
Yukarıda şekil de ayrıca a = m + n'dir.
b² + c² = a²
(h² + n²) + (h² + m²) = (m + n)²
2.h² + n² + m² = m² + 2.m.n + n²
2.h² + n² + m² - m² - n² = 2.m.n
2.h² = 2.m.n
h² = m.n olur.
2. Öklid'in Dik Kenar Bağıntıları
1. c² = m.a
İspat
ABH üçgeni için h² + m² = c²
c² = h² + m²
Öklid'in Yükseklik Bağıntısına göre h² = m.n'dir.
c² = m.n + m²
c² = m.(n + m)
Yukarıdaki şekil de m + n = a'dır.
c² = m.a olur.
2. b² = n.a
İspat
AHC üçgeni için h² + n² = b²
b² = h² + n²
Öklid'in Yükseklik Bağıntısına göre h² = m.n'dir.
b² = m.n + n²
b² = n.(m + n)
b² = n.a olur.
3. 1/h² = 1/b² + 1/c²
İspat
ABC üçgeninin alanı
A (ABC) = a.h/2
A (ABC) = b.c/2
a.h/2 = b.c/2
a.h = b.c
(a.h)² = (b.c)² (Eşitliğin her iki tarafının karesini aldık)
a².h² = b².c²
h² = b².c²/a²
1/h² = a²/b².c² (Eşitliğin her iki tarafını ters çevirdik)
Yukarıdaki şekil de a² = b² + c²
1/h² = (b² + c²)/b².c²
1/h² = b²/b².c² + c²/b².c²
1/h² = 1/c² + 1/b² olur.
Üçgenlerde Benzerlik Kurallarından Yararlanarak Öklid Teoreminin İspatı
Yukarıdaki şekildeki ABC, HBA ve HAC üçgeni Açı - Açı - Açı bakımından benzer üçgenlerdir.
ABC ∼ HBA ∼ HAC (A.A.A)
1. h² = m.n Eşitliğinin İspatı
HBA ∼ HAC (A.A.A)
h/m = n/h (İçler dışlar çarpımı yapalım)
h.h = m.n
h² = m.n olur.
2. c² = m.a Eşitliğinin İspatı
HBA ∼ ABC (A.A.A)
m/c = c/a (İçler dışlar çarpımı yapalım)
c.c = m.a
c² = m.a olur.
3. b² = n.a Eşitliğinin İspatı
HAC ∼ ABC (A.A.A)
n/b = b/a (İçler dışlar çarpımı yapalım)
b.b = n.a
b² = n.a olur.
