Öklid Teoremi (Öklid Bağıntısı)

Öklit Teoremi (Öklit Bağıntısı)

Bir dik üçgende, dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse bir dikme inilirse iki tane yeni dik üçgen elde edilir. Oluşan bu yeni iki dik üçgen ile ilk dik üçgen Açı-Açı-Açı (A.A.A.) bakımından benzer üçgenlerdir. Bu üçgenlerden yararlanarak elde edilen bağıntılara Öklit Bağıntısı denir.

1. Öklid'in Yükseklik Bağıntısı

h² = m.n

İspatı

Yukarıdaki şekildeki HBA, HAC ve ABC üçgenleri birer dik üçgendir.

HBA, HAC ve ABC üçgenleri için sırasıyla Pisagor Teoremini uygularsak;

HBA üçgeni için h² + m² = c²

HAC üçgeni için h² + n² = b²

ABC üçgeni için b² + c² = a² olur.

Ayrıca, a = m + n'dir.

b² + c² = a² eşitliğini açalım.

(h² + n²) + (h² + m²) = (m + n)²

h² + h² + n² + m² = m² + 2mn + n²

2h² + n² + m² = m² + 2mn + n²

2h² + n² + m² - m² - n² = 2mn

2h² + n² - n² + m² - m² = 2mn

2h² = 2mn

h² = m.n olur.

2. Öklid'in Dik Kenar Bağıntıları

1. c² = m.a

İspatı

HBA üçgeni için c² = m² + h²

Öklid'in Yükseklik Bağıntısına göre h² = m.n'dir.

c² = m² + h²

c² = m² + m.n

c² = m.(m + n)

m + n = a'dır.

c² = m.a olur.

2. b² = n.a

İspatı

HAC üçgeni için b² = n² + h²

Öklid'in Yükseklik Bağıntısına göre h² = m.n'dir.

b² = n² + h²

b² = n² + m.n

b² = n.(n + m)

n + m = a'dır.

b² = n.a olur.

3. 1/h² = 1/b² + 1/c²

İspatı

Yukarıdaki ABC üçgeninin alanı;

A (ABC) = a.h/2 = b.c/2'dir.

a.h/2 = b.c/2

a.h = b.c

(a.h)² = (b.c)² (eşitliğin her iki tarafının da karesini alırız)

a².h² = b².c²

h² = b².c²/a²

1/h² = a²/b².c² (eşitliğin her iki tarafını da ters çeviririz)

a² = b² + c²'dir.

1/h² = (b² + c²)/b².c²

1/h² = b²/b².c² + c²/b².c²

1/h² = 1/c² + 1/b² olur.

Üçgenler de Benzerlik Kurallarından Yararlanarak Öklid Teoreminin İspatı

Yukarıdaki şekildeki ABC, HBA ve HAC dik üçgenleri Açı-Açı-Açı (A.A.A.) bakımından benzer üçgenlerdir.

ABC ∼ HBA ∼ HAC (A.A.A.)

1. h² = m.n Eşitliğinin İspatı

HBA ∼ HAC (A.A.A.)

|AH|/|BH| = |CH|/|AH|

h/m = n/h

h.h = m.n (içler dışlar çarpımı yaparız)

h² = m.n olur.

2. c² = m.a Eşitliğinin İspatı

HBA ∼ ABC (A.A.A.)

|BH|/|AB| = |AB|/|BC|

m/c = c/a

c.c = m.a (içler dışlar çarpımı yaparız)

c² = m.a olur.

3. b² = n.a Eşitliğinin İspatı

HAC ∼ ABC (A.A.A.)

|CH|/|AC| = |AC|/|BC|

n/b = b/a

b.b = n.a (içler dışlar çarpımı yaparız)

b² = n.a olur.