Öklit Teoremi (Öklit Bağıntısı)
Bir dik üçgende, dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse bir dikme inilirse iki tane yeni dik üçgen elde edilir. Oluşan bu yeni iki dik üçgen ile ilk dik üçgen Açı-Açı-Açı (A.A.A.) bakımından benzer üçgenlerdir. Bu üçgenlerden yararlanarak elde edilen bağıntılara Öklit Bağıntısı denir.
1. Öklid'in Yükseklik Bağıntısı
h² = m.n
İspatı
Yukarıdaki şekildeki HBA, HAC ve ABC üçgenleri birer dik üçgendir.
HBA, HAC ve ABC üçgenleri için sırasıyla Pisagor Teoremini uygularsak;
HBA üçgeni için h² + m² = c²
HAC üçgeni için h² + n² = b²
ABC üçgeni için b² + c² = a² olur.
Ayrıca, a = m + n'dir.
b² + c² = a² eşitliğini açalım.
(h² + n²) + (h² + m²) = (m + n)²
h² + h² + n² + m² = m² + 2mn + n²
2h² + n² + m² = m² + 2mn + n²
2h² + n² + m² - m² - n² = 2mn
2h² + n² - n² + m² - m² = 2mn
2h² = 2mn
h² = m.n olur.
2. Öklid'in Dik Kenar Bağıntıları
1. c² = m.a
İspatı
HBA üçgeni için c² = m² + h²
Öklid'in Yükseklik Bağıntısına göre h² = m.n'dir.
c² = m² + h²
c² = m² + m.n
c² = m.(m + n)
m + n = a'dır.
c² = m.a olur.
2. b² = n.a
İspatı
HAC üçgeni için b² = n² + h²
Öklid'in Yükseklik Bağıntısına göre h² = m.n'dir.
b² = n² + h²
b² = n² + m.n
b² = n.(n + m)
n + m = a'dır.
b² = n.a olur.
3. 1/h² = 1/b² + 1/c²
İspatı
Yukarıdaki ABC üçgeninin alanı;
A (ABC) = a.h/2 = b.c/2'dir.
a.h/2 = b.c/2
a.h = b.c
(a.h)² = (b.c)² (eşitliğin her iki tarafının da karesini alırız)
a².h² = b².c²
h² = b².c²/a²
1/h² = a²/b².c² (eşitliğin her iki tarafını da ters çeviririz)
a² = b² + c²'dir.
1/h² = (b² + c²)/b².c²
1/h² = b²/b².c² + c²/b².c²
1/h² = 1/c² + 1/b² olur.
Üçgenler de Benzerlik Kurallarından Yararlanarak Öklid Teoreminin İspatı
Yukarıdaki şekildeki ABC, HBA ve HAC dik üçgenleri Açı-Açı-Açı (A.A.A.) bakımından benzer üçgenlerdir.
ABC ∼ HBA ∼ HAC (A.A.A.)
1. h² = m.n Eşitliğinin İspatı
HBA ∼ HAC (A.A.A.)
|AH|/|BH| = |CH|/|AH|
h/m = n/h
h.h = m.n (içler dışlar çarpımı yaparız)
h² = m.n olur.
2. c² = m.a Eşitliğinin İspatı
HBA ∼ ABC (A.A.A.)
|BH|/|AB| = |AB|/|BC|
m/c = c/a
c.c = m.a (içler dışlar çarpımı yaparız)
c² = m.a olur.
3. b² = n.a Eşitliğinin İspatı
HAC ∼ ABC (A.A.A.)
|CH|/|AC| = |AC|/|BC|
n/b = b/a
b.b = n.a (içler dışlar çarpımı yaparız)
b² = n.a olur.
