Öklid Teoremi (Öklid Bağıntısı)

05/01/20201 dakikalık okuma

Öklit Teoremi (Öklit Bağıntısı)

Bir dik üçgende 90 derece değerindeki açının bulunduğu köşeden hipotenüse bir dikme inilirse iki tane yeni dik üçgen oluşur. Oluşan yeni dik üçgenler ile ilk dik üçgen Açı - Açı - Açı (AAA) bakımından benzer üçgenlerdir. Bu üçgenlerden yararlanarak elde edilen bağıntılara Öklit bağıntısı denir.



1. Öklid'in Yükseklik Bağıntısı



h² = m.n



İspat





Yukarıdaki şekil de ABH, AHC ve ABC bir dik üçgendir.

Pisagor Teoremine göre;

ABH üçgeni için h² + m² = c²

AHC üçgeni için h² + n² = b²

ABC üçgeni için b² + c² = a²'dir.

Yukarıda şekil de ayrıca a = m + n'dir.

b² + c² = a²

(h² + n²) + (h² + m²) = (m + n)²

2.h² + n² + m² = m² + 2.m.n + n²

2.h² + n² + m² - m² - n² = 2.m.n

2.h² = 2.m.n

h² = m.n olur.



2. Öklid'in Dik Kenar Bağıntıları



1. c² = m.a



İspat

ABH üçgeni için h² + m² = c²

c² = h² + m²

Öklid'in Yükseklik Bağıntısına göre h² = m.n'dir.

c² = m.n + m²

c² = m.(n + m)

Yukarıdaki şekil de m + n = a'dır.

c² = m.a olur.



2. b² = n.a



İspat

AHC üçgeni için h² + n² = b²

b² = h² + n²

Öklid'in Yükseklik Bağıntısına göre h² = m.n'dir.

b² = m.n + n²

b² = n.(m + n)

b² = n.a olur.



3. 1/h² = 1/b² + 1/c²



İspat

ABC üçgeninin alanı

A (ABC) = a.h/2

A (ABC) = b.c/2

a.h/2 = b.c/2

a.h = b.c

(a.h)² = (b.c)² (Eşitliğin her iki tarafının karesini aldık)

a².h² = b².c²

h² = b².c²/a²

1/h² = a²/b².c² (Eşitliğin her iki tarafını ters çevirdik)

Yukarıdaki şekil de a² = b² + c²

1/h² = (b² + c²)/b².c²

1/h² = b²/b².c² + c²/b².c²

1/h² = 1/c² + 1/b² olur.



Üçgenlerde Benzerlik Kurallarından Yararlanarak Öklid Teoreminin İspatı





Yukarıdaki şekildeki ABC, HBA ve HAC üçgeni Açı - Açı - Açı bakımından benzer üçgenlerdir.



ABC ∼ HBA ∼ HAC (A.A.A)



1. h² = m.n Eşitliğinin İspatı

HBA ∼ HAC (A.A.A)

h/m = n/h (İçler dışlar çarpımı yapalım)

h.h = m.n

h² = m.n olur.



2. c² = m.a Eşitliğinin İspatı

HBA ∼ ABC (A.A.A)

m/c = c/a (İçler dışlar çarpımı yapalım)

c.c = m.a

c² = m.a olur.



3. b² = n.a Eşitliğinin İspatı

HAC ∼ ABC (A.A.A)

n/b = b/a (İçler dışlar çarpımı yapalım)

b.b = n.a

b² = n.a olur.

https://bylge-images.s3.amazonaws.com/banff-4331689_1920.jpg
Pow

Fizik, Kimya, Matematik, Tarih ve Genel Kültür Sevdiricisi

https://bylge-images.s3.amazonaws.com/banff-4331689_1920.jpgPow senin desteğini bekliyor.
İçerik paylaşarak para kazanmanın kolay yolu 💰