Bir Sayının Sıfıra Bölüm Neden Tanımsızdır?
Sıfır dışındaki herhangi bir reel (gerçel) sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Peki bunun bir ispatı var mıdır? varsa nasıl gösterilebilir?
x / 0 = Tanımsız (x ≠ 0)'ın ispatına geçmeden önce bir hatırlatma da bulunmanın faydalı olacağını düşünüyorum. Yukarıdaki eşitlikte x = 0 olursa eşitlik 0 / 0 olur ve 0 / 0'ın sonucu da belirsizdir.
0 / 0 = Belirsiz
İspat 1
Limit'te x → 0'a doğru sağdan (+ ∞'dan) yaklaşırken 1 / x artı sonsuza (+ ∞'a) doğru gider. Burada dikkat ederseniz özellikle "yaklaşmak" tabirini kullanıyoruz. x → 0'a doğru soldan (- ∞'dan) yaklaşırken ise 1 / x eksi sonsuza (- ∞'a) doğru gider. Teorik olarak x değeri 0'ın en yakınındaki noktaya kadar yaklaşabilir ancak pratikte bu mümkün değildir. Bunun için limit’te "ulaşmak, varmak" yerine "yaklaşmak" tabirinin kullanılması daha doğrudur. Sonuç olarak x değeri 0’a ve 1/ x değeri de art ve eksi sonsuza hiçbir zaman ulaşamaz. Zaten sonsuz demek sonu olmayan, varılamayan, ulaşılamayan demektir. 1 / x Fonksiyonunda x → 0'a doğru sağdan (+ ∞'dan) yaklaştığında Fonksiyonun değeri + ∞'a doğru giderken, soldan yaklaştığında (- ∞'dan) ise - ∞'a doğru gider. Bir Fonksiyon aynı anda iki değer alamayacağı için sonuç olarak 0 noktasında 1 / x fonksiyonu tanımsızdır.
İspat 2
Reel Sayılar Kümesi içerisinde yukarıdaki eşitliği sağlayacak yani 0 ile çarpıldığında sonucu yine bir reel sayı olacak bir k sayı bulamayız. 0 ile hangi reel sayıyı çarparsak çarpalım sonuç yine 0 olur. Reel Sayılar Kümesi içerisinde tanımlı böyle bir sayı bulamayacağımız için x / 0'ın sonucu tanımsız olur.
