sin2x = 2.sinx.cosx'in İspatı (sin2x = 2.sinx.cosx Eşitliğinin İspatı)
1. Yol
2. Yol
Trigonometrik değeri bilinen iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerini bulmak için kullanılan formüllere Toplam Fark Formülleri denir. Bu formüllerin yardımıyla sin2x açılımının değerini aşağıdaki şeklideki gibi hesaplayabiliriz.
sin(a + b) = sina . cosb + cosa . sinb
sin2x = sin(x + x) = sinx . cosx + cosx . sinx
sin2x = sinx . cosx + sinx . cosx
sin2x = 2 . sinx . cosx
Sin2x Açılımı ile İlgili Çözümlü Sorular
Örnek 1
sinx - cosx = 1/2 ise sin2x'in değerini bulunuz?
Çözüm 1
sinx - cosx = 1/2
(sinx - cosx)² = (1/2)²
sinx² - 2.sinx.cosx + cosx² = 1/4
sinx² + cosx² - 2.sinx.cosx = 1/4
sinx² + cosx² = 1 ve sin2x = 2.sinx.cosx
1 - sin2x = 1/4
-sin2x = 1/4 - 1
-sin2x = -3/4
sin2x = 3/4
Örnek 2
1/sinx² + 1/cosx² = 8 Denkleminin dar açı olan çözümü nedir?
Çözüm 2
1/sinx² + 1/cosx² = 8
(sinx² + cosx²)/sinx².cosx² = 8
(sinx² + cosx²)/(sinx.cosx)² = 8
sinx² + cosx² = 1 ve sin2x = 2.sinx.cosx
1/[(sin2x)/2]² = 8
[(sin2x)/2]² = 1/8
(sin2x)²/2² = 1/8
(sin2x)²/4 = 1/8
(sin2x)² = 4.1/8
(sin2x)² = 1/2
√(sin2x)² = √1/2
sin2x = 1/√2 = √2/2
Sin2x = Sin(π/4)
2x = π/4
x = π/8
Örnek 3
cos20° = x olmak üzere;
sin80°/cos40°.sin20° eşitliğinin x değerinden sonucu kaçtır?
Çözüm 3
sin80°/cos40°.sin20° = 2.sin40°.cos40°/cos40°.sin20°
sin80°/cos40°.sin20° = 2.sin40°/sin20°
sin80°/cos40°.sin20° = 2.2.sin20°.cos20°/sin20°
sin80°/cos40°.sin20° = 4.cos20°
sin80°/cos40°.sin20° = 4x
