sin2x açılımı ispatı
1. Yol
Yukarıdaki ABD üçgeninin hipotenüsünün uzunluğu 1 birim olup, |AB| = sinx ve |BD| = cosx olur.
ABC dik üçgeninde Pisagor Teoremine göre;
|AB|² + |BC|² = |AC|²
sin²x + (cosx - a)² = a²
sin²x + cos²x + 2 . cosx . -a + a² = a²
sin²x + cos²x = 1
1 - 2 . cosx . a + a² = a²
1 - 2 . cosx . a = a² - a²
1 - 2 . cosx . a = 0
-2 . cosx . a = -1
a = -1/-2 . cosx
a = 1/2 . cosx
ABC dik üçgeninde;
sinx/a = sin2x'dir.
sin2x = sinx/a
sin2x = sinx / 1/2 . cosx
sin2x = sinx . 2 . cosx
sin2x = 2 . sinx . cosx olur.
2. Yol
Trigonometrik değeri bilinen iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerini bulabilmek için kullanılan formüllere toplam-fark formülleri denir. Bu formüllerin yardımıyla sin2x açılımının değerini aşağıdaki şekildeki gibi hesaplayabiliriz.
sin(a + b) = sina . cosb + cosa . sinb
sin2x = sin(x + x) = sinx . cosx + cosx . sinx
sin2x = sinx . cosx + sinx . cosx
sin2x = 2 . sinx . cosx
sin2x açılımı ile ilgili çözümlü sorular
Örnek 1
sinx - cosx = 1/2 ise sin2x'in değerini bulunuz ?
sinx - cosx = 1/2
(sinx - cosx)² = (1/2)²
sin²x - 2 . sinx . cosx + cos²x = 1/4
sinx² + cosx² - 2 . sinx . cosx = 1/4
sin²x + cos²x = 1 ve sin2x = 2 . sinx . cosx
1 - sin2x = 1/4
-sin2x = 1/4 - 1
-sin2x = -3/4
sin2x = 3/4 olur.
Örnek 2
1/sinx² + 1/cosx² = 8 denkleminin dar açı olan çözümü nedir ?
1/sin²x + 1/cos²x = 8
(sin²x + cos²x)/sin²x . cos²x = 8
(sin²x + cos²x)/(sinx . cosx)² = 8
sin²x + cos²x = 1 ve sin2x = 2 . sinx . cosx
1/(sin2x/2)² = 8
(sin2x/2)² = 1/8
sin²2x/2² = 1/8
sin²2x/4 = 1/8
sin²2x = 4 . 1/8
sin²2x = 1/2
√sin²2x = √1/2
sin2x = 1/√2 = √2/2
Sin2x = Sin(π/4)
2x = π/4
x = π/8 olur.
Örnek 3
cos20° = x olmak üzere;
sin80°/cos40° . sin20° eşitliğinin x değerinden sonucu kaçtır ?
sin80°/cos40° . sin20° = 2 . sin40° . cos40°/cos40° . sin20°
sin80°/cos40° . sin20° = 2 . sin40°/sin20°
sin80°/cos40° . sin20° = 2 . 2 . sin20° . cos20°/sin20°
sin80°/cos40° . sin20° = 4 . cos20°
sin80°/cos40° . sin20° = 4x olur.
