Sin2x Açılımı

Sin2x Açılımının İspatı

1. Yol

Yukarıdaki ABD dik üçgeninin hipotenüsünün uzunluğu (AD kenarı) 1 birim olduğu için |AB| = sinx ve |BD| = cosx olur.

2. Yol

Trigonometrik değeri bilinen iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerini bulabilmek için kullanılan formüllere toplam-fark formülleri denir. Bu formülleri kullanarak sin2x açılımının değerini aşağıdaki şekildeki gibi hesaplayabiliriz.

sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa

sin2x = sin(x+x)

sin2x = sinx.cosx + sinx.cosx

sin2x = 2.sinx.cosx olur.

Örnek 1:

sinx - cosx = 1/2 ise sin2x'in değerini bulunuz ?

sinx - cosx = 1/2

(sinx - cosx)² = (1/2)²

sin²x - 2.sinx.cosx + cos²x = 1/4

sinx² + cosx² - 2.sinx.cosx = 1/4

sin²x + cos²x = 1, 2.sinx.cosx = sin2x

1 - sin2x = 1/4

-sin2x = 1/4 - 1

-sin2x = -3/4

sin2x = 3/4 olur.

Örnek 2:

cos20° = x olmak üzere;

sin80°/cos40°.sin20° eşitliğinin x değerinden sonucu kaçtır ?

sin80°/cos40°.sin20° = 2.sin40°.cos40°/cos40°.sin20°

sin80°/cos40°.sin20° = 2.sin40°/sin20°

sin80°/cos40°.sin20° = 2.2.sin20°.cos20°/sin20°

sin80°/cos40°.sin20° = 4.cos20°

sin80°/cos40°.sin20° = 4x olur.