Sin2x Açılımı

May 1, 20202 dakika





sin2x açılımı ispatı



1. Yol





Yukarıdaki ABD üçgeninin hipotenüsünün uzunluğu 1 birim olup, |AB| = sinx ve |BD| = cosx olur.



ABC dik üçgeninde Pisagor Teoremine göre;



|AB|² + |BC|² = |AC|²

sin²x + (cosx - a)² = a²

sin²x + cos²x + 2 . cosx . -a + a² = a²

sin²x + cos²x = 1

1 - 2 . cosx . a + a² = a²

1 - 2 . cosx . a = a² - a²

1 - 2 . cosx . a = 0

-2 . cosx . a = -1

a = -1/-2 . cosx

a = 1/2 . cosx



ABC dik üçgeninde;

sinx/a = sin2x'dir.



sin2x = sinx/a

sin2x = sinx / 1/2 . cosx

sin2x = sinx . 2 . cosx

sin2x = 2 . sinx . cosx olur.



2. Yol



Trigonometrik değeri bilinen iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerini bulabilmek için kullanılan formüllere toplam-fark formülleri denir. Bu formüllerin yardımıyla sin2x açılımının değerini aşağıdaki şekildeki gibi hesaplayabiliriz.



sin(a + b) = sina . cosb + cosa . sinb

sin2x = sin(x + x) = sinx . cosx + cosx . sinx

sin2x = sinx . cosx + sinx . cosx

sin2x = 2 . sinx . cosx



sin2x açılımı ile ilgili çözümlü sorular



Örnek 1

sinx - cosx = 1/2 ise sin2x'in değerini bulunuz ?



sinx - cosx = 1/2

(sinx - cosx)² = (1/2)²

sin²x - 2 . sinx . cosx + cos²x = 1/4

sinx² + cosx² - 2 . sinx . cosx = 1/4

sin²x + cos²x = 1 ve sin2x = 2 . sinx . cosx

1 - sin2x = 1/4

-sin2x = 1/4 - 1

-sin2x = -3/4

sin2x = 3/4 olur.



Örnek 2

1/sinx² + 1/cosx² = 8 denkleminin dar açı olan çözümü nedir ?



1/sin²x + 1/cos²x = 8

(sin²x + cos²x)/sin²x . cos²x = 8

(sin²x + cos²x)/(sinx . cosx)² = 8

sin²x + cos²x = 1 ve sin2x = 2 . sinx . cosx

1/(sin2x/2)² = 8

(sin2x/2)² = 1/8

sin²2x/2² = 1/8

sin²2x/4 = 1/8

sin²2x = 4 . 1/8

sin²2x = 1/2

√sin²2x = √1/2

sin2x = 1/√2 = √2/2

Sin2x = Sin(π/4)

2x = π/4

x = π/8 olur.



Örnek 3

cos20° = x olmak üzere;

sin80°/cos40° . sin20° eşitliğinin x değerinden sonucu kaçtır ?



sin80°/cos40° . sin20° = 2 . sin40° . cos40°/cos40° . sin20°

sin80°/cos40° . sin20° = 2 . sin40°/sin20°

sin80°/cos40° . sin20° = 2 . 2 . sin20° . cos20°/sin20°

sin80°/cos40° . sin20° = 4 . cos20°

sin80°/cos40° . sin20° = 4x olur.

Küçük bir destek binlerce beğeniden daha değerlidir
https://bylge-images.s3.amazonaws.com/banff-4331689_1920.jpg
Pow

Fizik, Kimya, Matematik, Tarih ve Genel Kültür Sevdiricisi

Bylge Icon
Bylge Icon