Sin2x Açılımının İspatı
1. Yol
Yukarıdaki ABD dik üçgeninin hipotenüsünün uzunluğu (AD kenarı) 1 birim olduğu için |AB| = sinx ve |BD| = cosx olur.
2. Yol
Trigonometrik değeri bilinen iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerini bulabilmek için kullanılan formüllere toplam-fark formülleri denir. Bu formülleri kullanarak sin2x açılımının değerini aşağıdaki şekildeki gibi hesaplayabiliriz.
sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa
sin2x = sin(x+x)
sin2x = sinx.cosx + sinx.cosx
sin2x = 2.sinx.cosx olur.
Örnek 1:
sinx - cosx = 1/2 ise sin2x'in değerini bulunuz ?
sinx - cosx = 1/2
(sinx - cosx)² = (1/2)²
sin²x - 2.sinx.cosx + cos²x = 1/4
sinx² + cosx² - 2.sinx.cosx = 1/4
sin²x + cos²x = 1, 2.sinx.cosx = sin2x
1 - sin2x = 1/4
-sin2x = 1/4 - 1
-sin2x = -3/4
sin2x = 3/4 olur.
Örnek 2:
cos20° = x olmak üzere;
sin80°/cos40°.sin20° eşitliğinin x değerinden sonucu kaçtır ?
sin80°/cos40°.sin20° = 2.sin40°.cos40°/cos40°.sin20°
sin80°/cos40°.sin20° = 2.sin40°/sin20°
sin80°/cos40°.sin20° = 2.2.sin20°.cos20°/sin20°
sin80°/cos40°.sin20° = 4.cos20°
sin80°/cos40°.sin20° = 4x olur.
