Sin2x Açılımı





sin2x = 2.sinx.cosx'in İspatı (sin2x = 2.sinx.cosx Eşitliğinin İspatı)



1. Yol

















2. Yol

Trigonometrik değeri bilinen iki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerini bulmak için kullanılan formüllere Toplam Fark Formülleri denir. Bu formüllerin yardımıyla sin2x açılımının değerini aşağıdaki şeklideki gibi hesaplayabiliriz.



sin(a + b) = sina . cosb + cosa . sinb

sin2x = sin(x + x) = sinx . cosx + cosx . sinx

sin2x = sinx . cosx + sinx . cosx

sin2x = 2 . sinx . cosx



Sin2x Açılımı ile İlgili Çözümlü Sorular



Örnek 1

sinx - cosx = 1/2 ise sin2x'in değerini bulunuz?



Çözüm 1

sinx - cosx = 1/2

(sinx - cosx)² = (1/2)²

sinx² - 2.sinx.cosx + cosx² = 1/4

sinx² + cosx² - 2.sinx.cosx = 1/4

sinx² + cosx² = 1 ve sin2x = 2.sinx.cosx

1 - sin2x = 1/4

-sin2x = 1/4 - 1

-sin2x = -3/4

sin2x = 3/4



Örnek 2

1/sinx² + 1/cosx² = 8 Denkleminin dar açı olan çözümü nedir?



Çözüm 2

1/sinx² + 1/cosx² = 8

(sinx² + cosx²)/sinx².cosx² = 8

(sinx² + cosx²)/(sinx.cosx)² = 8

sinx² + cosx² = 1 ve sin2x = 2.sinx.cosx

1/[(sin2x)/2]² = 8

[(sin2x)/2]² = 1/8

(sin2x)²/2² = 1/8

(sin2x)²/4 = 1/8

(sin2x)² = 4.1/8

(sin2x)² = 1/2

√(sin2x)² = √1/2

sin2x = 1/√2 = √2/2

Sin2x = Sin(π/4)

2x = π/4

x = π/8



Örnek 3

cos20° = x olmak üzere;

sin80°/cos40°.sin20° eşitliğinin x değerinden sonucu kaçtır?



Çözüm 3

sin80°/cos40°.sin20° = 2.sin40°.cos40°/cos40°.sin20°

sin80°/cos40°.sin20° = 2.sin40°/sin20°

sin80°/cos40°.sin20° = 2.2.sin20°.cos20°/sin20°

sin80°/cos40°.sin20° = 4.cos20°

sin80°/cos40°.sin20° = 4x