Bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunluğunu ve bu iki kenarı arasındaki açının ölçüsünü biliyorsak, o üçgenin alanını aşağıdaki şekildeki gibi hesaplayabiliriz.
Yukarıda iki kenarı ve bir açısı bilinen ABC üçgeninin alanı; A (ABC) = 1/2.b.c.sina°'dır.
Sinüs Alan Formülü İspatı
Yukarıdaki ABC üçgenin alanı;
A (ABC) = b.h/2'dir.
ABD dik üçgeninde sina° = h/c olur.
h/c = sina° ise h = c.sina° olur.
Yukarıdaki alan formülünde h gördüğümüz yere c.sina° yazalım.
A (ABC) = b.c.sina°/2 = 1/2.b.c.sina° olur.
Aynı formülü üçgenin diğer kenarları ve açıları için uygularsak;
A (ABC) = 1/2.a.c.sinb°
A (ABC) = 1/2.a.b.sinc° olur.
Önemli ! a/sina° = b/sinb° = c/sinc°'dir.
İspatı
1/2.b.c.sina° = 1/2.a.c.sinb° = 1/2.a.b.sinc°
b.c.sina° = a.c.sinb° = a.b.sinc°
b.c.sina°/a.b.c = a.c.sinb°/a.b.c = a.b.sinc°/a.b.c
sina°/a = sinb°/b = sinc°/c, buradan;
a/sina° = b/sinb° = c/sinc° olur.
Örnek 1: Bir ABC üçgeninde a kenarının uzunluğu 8 cm, b kenarının uzunluğu 5 cm ve a ile b kenarı arasında kalan C açısının ölçüsü 30° ise bu üçgenin alanı ne kadardır ?
A (ABC) = 1/2.a.b.sinC
A (ABC) = 1/2.8.5.sin30°
(sin30° = 1/2 = 0,5)
A (ABC) = 1/2.8.5.0,5
A (ABC) = 1/2.20
A (ABC) = 10 cm² olur.
Örnek 2:
Yukarıdaki üçgenin alanı 18√7 ise, A açısının ölçüsünün değerin bulunuz.
A (ABC) = 1/2.b.c.sinA
18√7 = 1/2.12.3√7.sinA
18√7 = 1/2.36√7.sinA
18√7 = 18√7.sinA
1 = sinA
(sin90° = 1)
A = 90 olur.
