Sinx Türevi (Sinüs Türevi)

Sinx Türevi Nedir ? (Sinx Türevi Formülü)

y = f(x) = sinx ⇒ y' = f(x)' = cosx olur.

Sinx Türevi İspatı (Sinx Türevi Nasıl Alınır ?)

1. Yol

2. Yol

3. Yol

sinx ve cosx fonksiyonlarının sonsuz seri şeklindeki açılımlarından faydalanarak da sinx'in türevinin cosx olduğunu ispatlayabiliriz.

Önemli : y = f(x) = sinu ⇒ y' = f(x)' = u'.cosu

Örnek 1

y = sin(x³ - 5x² + 2x + 7) ise y' = ?

y = sin(x³ - 5x² + 2x + 7)

y' = [sin(x³ - 5x² + 2x + 7)]'

y = sinu ise y' = u'.cosu

y' = (x³ - 5x² + 2x + 7)'.cos(x³ - 5x² + 2x + 7)

y' = (3x² - 10x + 2 + 0).cos(x³ - 5x² + 2x + 7)

y' = (3x² - 10x + 2).cos(x³ - 5x² + 2x + 7)

Örnek 2

y = f(x) = cosx ise y' = f(x)' = ?

sin²x + cos²x = 1

(sin²x + cos²x)' = (1)' (eşitliğin her iki tarafının da türevini alırız)

(sin²x)' + (cos²x)' = (1)'

y = f(x) = u² ise y' = f(x)' = 2.u.u'

2.sinx.(sinx)' + 2.cosx.(cosx)' = 0

2.sinx.cosx + 2.cosx.(cosx)' = 0

2.cosx.(cosx)' = -2.sinx.cosx

(cosx)' = -2.sinx.cosx/2.cosx

(cosx)' = -sinx olur.

Örnek 3

f(x) = sin(2x) + sin(x³) ise f(0)' = ?

f(x) = sin(2x) + sin(x³)

f(x)' = [sin(2x) + sin(x³)]'

f(x)' = [sin(2x)]' + [sin(x³)]'

y = sinu ise y' = u'.cosu

f(x)' = (2x)'.[cos(2x)] + (x³)'.[cos(x³)]

f(x)' = 2.cos(2x) + 3x².cos(x³)

f(0)' = 2.cos(2.0) + 3.0².cos(0³)

f(0)' = 2.cos0 + 3.0.cos0

cos0 = 1

f(0)' = 2.1 + 3.0.1

f(0)' = 2 + 0

f(0)' = 2 olur.

Örnek 4

f(x) = sin²x ise f(x)'/f(x) = ?

f(x)' = (sin²x)'

y = f(x) = u² ise y' = f(x)' = 2.u.u'

f(x)' = 2.sinx.sinx'

f(x)' = 2.sinx.cosx

f(x)'/f(x) = 2.sinx.cosx/sin²x

f(x)'/f(x) = 2.cosx/sinx

cosx/sinx = cotx

f(x)'/f(x) = 2.cotx