Sinx Türevi Nedir ? (Sinx Türevi Formülü)
y = f(x) = sinx ⇒ y' = f(x)' = cosx olur.
Sinx Türevi İspatı (Sinx Türevi Nasıl Alınır ?)
1. Yol
2. Yol
3. Yol
sinx ve cosx fonksiyonlarının sonsuz seri şeklindeki açılımlarından faydalanarak da sinx'in türevinin cosx olduğunu ispatlayabiliriz.
Önemli: y = f(x) = sinu ⇒ y' = f(x)' = u'.cosu
Örnek 1
y = sin(x³ - 5x² + 2x + 7) ise y' = ?
y = sin(x³ - 5x² + 2x + 7)
y' = [sin(x³ - 5x² + 2x + 7)]'
y = sinu ise y' = u'.cosu
y' = (x³ - 5x² + 2x + 7)'.cos(x³ - 5x² + 2x + 7)
y' = (3x² - 10x + 2 + 0).cos(x³ - 5x² + 2x + 7)
y' = (3x² - 10x + 2).cos(x³ - 5x² + 2x + 7)
Örnek 2
y = f(x) = cosx ise y' = f(x)' = ?
sin²x + cos²x = 1
(sin²x + cos²x)' = (1)' (eşitliğin her iki tarafının da türevini alırız)
(sin²x)' + (cos²x)' = (1)'
y = f(x) = u² ise y' = f(x)' = 2.u.u'
2.sinx.(sinx)' + 2.cosx.(cosx)' = 0
2.sinx.cosx + 2.cosx.(cosx)' = 0
2.cosx.(cosx)' = -2.sinx.cosx
(cosx)' = -2.sinx.cosx/2.cosx
(cosx)' = -sinx olur.
Örnek 3
f(x) = sin(2x) + sin(x³) ise f(0)' = ?
f(x) = sin(2x) + sin(x³)
f(x)' = [sin(2x) + sin(x³)]'
f(x)' = [sin(2x)]' + [sin(x³)]'
y = sinu ise y' = u'.cosu
f(x)' = (2x)'.[cos(2x)] + (x³)'.[cos(x³)]
f(x)' = 2.cos(2x) + 3x².cos(x³)
f(0)' = 2.cos(2.0) + 3.0².cos(0³)
f(0)' = 2.cos0 + 3.0.cos0
cos0 = 1
f(0)' = 2.1 + 3.0.1
f(0)' = 2 + 0
f(0)' = 2 olur.
Örnek 4
f(x) = sin²x ise f(x)'/f(x) = ?
f(x)' = (sin²x)'
y = f(x) = u² ise y' = f(x)' = 2.u.u'
f(x)' = 2.sinx.sinx'
f(x)' = 2.sinx.cosx
f(x)'/f(x) = 2.sinx.cosx/sin²x
f(x)'/f(x) = 2.cosx/sinx
cosx/sinx = cotx
f(x)'/f(x) = 2.cotx
