bylge-logo

    Bylge

    Sonsuz Bölü Sonsuz (Sonsuz Bölü Sonsuz Belirsizliği)

    Picture of the Pow

    Pow

    December 12, 2023

    Sonsuz Nedir? Matematikte sonsuz, "∞" şeklinde gösterilen ve sonu olmayan, devam edip giden anlamına gelen bir ifadedir. Yani sonsuz (∞) bir sayı değildir. S


    Sonsuz_Bölü_Sonsuz_(Sonsuz_Bölü_Sonsuz_Belirsizliği)


    Sonsuz Nedir?

    Matematikte sonsuz, "∞" şeklinde gösterilen ve sonu olmayan, devam edip giden anlamına gelen bir ifadedir. Yani sonsuz (∞) bir sayı değildir. Sonsuza ulaşılamaz, varılamaz.


    Sonsuz İfadelerle İlgili Bazı İşlemler

    1. Sonsuz ile sonsuzun toplamı yine sonsuzdur.

    ∞ + ∞ = ∞


    2. Sonsuz ile sonsuzun farkı belirsizdir.

    ∞ - ∞ = Belirsiz


    3. Sonsuz ile sonsuzun çarpımı yine sonsuzdur.

    ∞ . ∞ = ∞


    4. Sonsuzun sonsuza bölümü belirsizdir.

    ∞ / ∞ = Belirsiz


    5. Sonsuz ile bir sayının toplamının sonucu yine sonsuzdur.

    ∞ + a = ∞ (a ∈ R)


    6. Sonsuzdan bir sayının çıkarılmasının sonucu yine sonsuzdur.

    ∞ - a = ∞ (a ∈ R)


    7. Sonsuzun pozitif (sıfırdan büyük) bir sayıya bölümü yine sonsuzdur.

    ∞ / a = ∞ (a ∈ R ve a > 0)


    8. Sonsuzun negatif (sıfırdan küçük) bir sayıya bölümü eksi sonsuzdur.

    ∞ / - a = - ∞ (a ∈ R ve - a < 0)


    9. Bir sayının sonsuza bölümü sıfırdır.

    a / ∞ = 0 (a ∈ R)


    ∞ / ∞ Neden Bire Eşit Değildir?

    Sonsuzun sonsuza bölümü (sonsuz bölü sonsuz) ilk bakışta sanki bire eşit gibi görünüyorsa da bu doğru değildir. Bunun neden doğru olamayacağını aşağıdaki şekildeki gibi ispatlayabiliriz.


    ∞ / ∞'un Sonucunun bire eşit olacağını kabul edelim (∞ / ∞ = 1)


    ∞ + ∞ = ∞

    ∞ + ∞ + ∞ = ∞

    ∞ / ∞ = (∞ + ∞) / (∞ + ∞) = (∞ + ∞ + ∞) / (∞ + ∞ +∞) Olur.


    Cebir'de (x + y + z) / t = x / t + y / t + z / t olduğunu hepimiz biliriz.


    ∞ / ∞ = (∞ + ∞) / (∞ + ∞)

    ∞ / ∞ = ∞ / (∞ + ∞) + ∞ / (∞ + ∞)

    ∞ / ∞ = ∞ / ∞ + ∞ / ∞

    ∞ / ∞ = 1 Olarak kabul etmiştik.

    1 = 1 + 1

    1 = 2

    1, 2'ye eşit olamayacağına göre buradan sonsuz bölü sonsuzun bire eşit olamayacağını rahatlıkla görebiliriz.


    ∞ / ∞ Belirsizliğinden Nasıl Kurtulabiliriz?

    Bunu bir örnekle açıklamaya çalışalım.


    Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = ?

    x → ∞


    Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (2 . ∞² + ∞ - 2) / (∞² + 3 . ∞ + 1)

    x → ∞

    Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (2 . ∞ + ∞ - 2) / (∞ + ∞ + 1)

    x → ∞

    Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (∞ + ∞ - 2) / (∞ + 1)

    x → ∞

    Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (∞ - 2) / ∞

    x → ∞

    Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = ∞ / ∞

    x → ∞


    Sonucun bu şekil de çıkmasının nedeni paydaki ifadenin gittiği sonsuz ile paydadaki ifadenin gittiği sonsuzun birbirine eşit olmamasıdır. sonsuza kadar gidiyor ama hangi sonsuza kadar?


    Yukarıdaki ifade de x değeri sonsuza doğru giderken (yaklaşırken) acaba; (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) ifadesi bir değere doğru yaklaşır mı? olaya bir de bu açıdan bakalım.


    x (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1)

    1 0,20

    2 0,72

    3 1,00

    4 1,17

    5 1,29

    10 1,58

    50 1,90

    100 1,95

    500 1,99


    Yukarıya bakıldığında da görüleceği üzere x değeri sonsuza doğru yaklaşırken (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) değeri de 2'ye doğru yaklaşır. Özellikle "yaklaşır" tabirini kullanıyoruz. Çünkü x değeri sonsuza hiç bir zaman varamaz, ulaşamaz, gidemez adı üstünde sonsuz sonu olmayan, varılamayan, ulaşılamayan demektir. x değeri sonsuza hiç bir zaman ulaşamayacağı için (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) değeri de 2'ye hiç bir zaman ulaşamaz, varamaz ancak yaklaşabilir.


    Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) Limitinin sonucunu aşağıdaki şekildeki gibi de bulabiliriz.

    x → ∞


    Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = x² (2 + 1 / x - 2 / x²) / x² (1 + 3 / x + 1 / x²)

    x → ∞

    Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (2 + 1 / x - 2 / x²) / (1 + 3 / x + 1 / x²)

    x → ∞

    Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (2 + 1 / ∞ - 2 / ∞²) / (1 + 3 / ∞ + 1 / ∞²)

    x → ∞

    Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (2 + 1 / ∞ - 2 / ∞) / (1 + 3 / ∞ + 1 / ∞)

    x → ∞

    Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = (2 + 0 - 0) / (1 + 0 + 0)

    x → ∞

    Lim (2x² + x - 2) / (x² + 3x + 1) = 2 / 1 = 2

    x → ∞


    1 / ∞'un 0'a eşit olmasının nedeni;


    1. 1 sınırlı bir sayı iken ∞ sınırsız bir sayıdır. sınırlı bir şeyin içinde sınırsız bir şey bulunamaz bu nedenle 1'in içinde 0 tane ∞ vardır daha doğrusu hiç sonsuz yoktur.


    2. Lim 1 / x Limitinde x sonsuza doğru yaklaşırken 1 / x sıfıra doğru yaklaşır.

    x → ∞

    Share Your Expertise, Earn Rewards!

    Found this insightful? Imagine your knowledge generating income. Contribute your articles to bylge.com and connect with readers while unlocking your earning potential.

    Sonsuz Bölü Sonsuz (Sonsuz Bölü Sonsuz Belirsizliği) - Bylge