Tanx Türevi (Tanjant Türevi)

Tanx Türevi Nedir ? (Tanx Türevi Formülü)

  y = f(x) = tanx ⇒ y' = f(x)' = 1 + tan²x'tir.

Tanx Türevi İspatı (Tanx Türevi Nasıl Alınır ?)

1. Yol

Önemli: (tanx)' = 1 + tan²x = 1/cos²x = sec²x

2. Yol

İki fonksiyonun bölümünün türevi formülünden yararlanarak da tanx'in türevinin 1 + tan²x'ye eşit olduğunu ispatlayabiliriz.

Önemli: y = f(x) = tanu ise y' = f(x)' = u'.(1 + tan²u)

Örnek 1

y = tan(x³ + 3x²) ise y' = ?

y = tan(x³ + 3x²)

y' = [tan(x³ + 3x²)]'

y = tanu ise y' = u'.(1 + tan²u)

y' = (x³ + 3x²)'.[1 + tan²(x³ + 3x²)]

y' = (3x² + 6x).[1 + tan²(x³ + 3x²)]

Örnek 2

y = f(x) = cotx ise y' = f(x)' = ?

cotx = 1/tanx

cotx = tan⁻¹x

(cotx)' = (tan⁻¹x)'

y = f(x) = u⁻¹ ⇒ y' = f(x)' = -1.u⁻².u' = -u⁻².u'

(cotx)' = -tan⁻²x.(tanx)'

(cotx)' = -tan⁻²x.(1 + tan²x)

(cotx)' = -tan⁻²x.1 - tan⁻²x.tan²x

(cotx)' = -tan⁻²x - 1

(cotx)' = -(tan⁻²x + 1) = -(1 + tan⁻²x)

tan⁻²x = 1/tan²x = (1/tanx)² = cot²x

(cotx)' = -(1 + cot²x) olur.