Yukarıdaki dik üçgene göre;
1. sin y = x ⇒ y = arcsin x
2. cos y = √1 - x² ⇒ y = arccos √1 - x²
3. tan y = x / √1 - x² ⇒ y = arctan x / √1 - x²
4. cot y = √1 - x² / x ⇒ y = arccot √1 - x² / x
5. sec y = x / √1 - x² ⇒ y = arcsec x / √1 - x²
6. csc y = 1 / x ⇒ y = arccsc 1 / x
1. Arcsinx Türevi
a. y = f(x) = arcsin x ⇒ y' = f(x)' = 1 / √1 - x²
b. y = f(x) = arcsin u ⇒ y' = f(x)' = u' / √1 - u²
Arcsinx Türevi İspatı
y = arcsinx
siny = x
d(siny) = dx
(siny)'dy = dx
cosydy = dx
dy / dx = 1 / cosy
y' = 1 / cosy
cosy = √1 - sin²y = √1 - x²
y' = 1 / √1 - x²
2. Arccosx Türevi
a. y = f(x) = arccos x ⇒ y' = f(x)' = - 1 / √1 - x²
b. y = f(x) = arccos u ⇒ y' = f(x)' = - u' / √1 - u²
Arccosx Türevi İspatı
y = arccosx
cosy = x
d(cosy) = dx
(cosy)'dy = dx
- sinydy = dx
dy / dx = - 1 / siny
y' = - 1 / siny
siny = √1 - cos²y = √1 - x²
y' = - 1 / √1 - x²
3. Arctanx Türevi
a. y = f(x) = arctan x ⇒ y' = f(x)' = 1 / 1 + x²
b. y = f(x) = arctan u ⇒ y' = f(x)' = u' / 1 + u²
Arctanx Türevi İspatı
y = arctanx
tany = x
d(tany) = dx
(tany)'dy = dx
(1 + tan²y)dy = dx
dy / dx = 1 / 1 + tan²y
y' = 1 / 1 + tan²y
y' = 1 / 1 + x²
4. Arccotx Türevi
a. y = f(x) = arccot x ⇒ y' = f(x)' = - 1 / 1 + x²
b. y = f(x) = arccot u ⇒ y' = f(x)' = - u' / 1 + u²
Arccotx Türevi İspatı
y = arccotx
coty = x
d(coty) = dx
(coty)'dy = dx
- (1 + cot²y)dy = dx
dy / dx = - 1 / 1 + cot²y
y' = - 1 / 1 + cot²y
y' = - 1 / 1 + x²
