bylge-logo

    Bylge

    Trigonometri Formülleri

    Trigonometrik Formüller Altı temel trigonometrik fonksiyon bir dik üçgen yardımıyla kolaylıkla tanımlanabilir. Bu altı temel trigonometrik fonksiyon sırasıyla s

    Picture of the Pow

    Pow

    @pow

    Trigonometrik Formüller

    Altı temel trigonometrik fonksiyon bir dik üçgen yardımıyla kolaylıkla tanımlanabilir. Bu altı temel trigonometrik fonksiyon sırasıyla sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant, sekant ve kosekanttır. İngilizce adlarının ilk üç harfi kullanılarak (kosekant hariç) kısaltılmışlardır.


    Trigonometri_Formülleri


    1. sin A = a / c

    2. cos A = b / c

    3. tan A = a / b

    4. cot A = b / a

    5. sec A = c / b

    6. csc A = c / a


    1. Tek-Çift Fonksiyonlar

    1. sin (- x) = - sin x

    2. cos (- x) = cos x

    3. tan (- x) = - tan x

    4. cot (- x) = - cot x

    5. sec (- x) = sec x

    6. csc (- x) = - csc x


    Eğer f (- x) = f (x) ise fonksiyon çift, f (- x) = - f (x) ise fonksiyon tektir. Buna göre kosinüs ve sekant fonksiyonları çift fonksiyon olur iken; sinüs, tanjant, kotanjant ve kosekant fonksiyonları ise tek fonksiyon olur.


    2. Aralarındaki İlişkiler

    1. sec x = 1 / cos x

    2. csc x = 1 / sin x

    3. tan x = sin x / cos x

    4. cot x = cos x / sin x

    5. tan x . cot x = 1


    3. Aralarındaki Pisagorik İlişkiler

    Yukarıdaki üçgeni kullanarak ve Pisagor Teoreminin de yardımıyla aşağıdaki eşitlikleri elde edebiliriz.


    1. sin² x + cos² x = 1

    2. sec² x = 1 + tan² x

    3. csc² x = 1 + cot² x


    4. Toplam ve Fark Formülleri

    Trigonometrik değerini bildiğimiz iki açının toplam veya farkının trigonometrik değerini hesaplamak için kullanacağımız formüllere toplam ve fark formülleri denir. Bunlar şunlardır;


    1. sin (x + y) = sin x . cos y + cos x . sin y

    2. sin (x - y) = sin x . cos y - cos x . sin y

    3. cos (x + y) = cos x . cos y - sin x . sin y

    4. cos (x - y) = cos x . cos y + sin x . sin y

    5. tan (x + y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x . tan y)

    6. tan (x - y) = (tan x - tan y) / (1 + tan x . tan y)

    7. cot (x + y) = (cot x . cot y - 1) / (cot x + cot y)

    8. cot (x - y) = (cot x . cot y + 1) / (cot x - cot y)


    5. Çift ve Yarım Açı Formülleri

    Trigonometrik değeri bilinen bir açının iki katının veya yarısının trigonometrik değerini hesaplamak için kullanılan formüllere iki kat açı (çift açı) veya yarım açı formülleri denir. Bunlar şunlardır;


    1. sin 2x = 2 . sin x . cos x

    2. cos 2x = cos² x - sin² x = 2 . cos² x - 1 = 1 - 2 . sin² x

    3. tan 2x = 2 . tan x / (1 - tan² x)

    4. cot 2x = (cot² x - 1) / 2 . cot x

    5. sin x/2 = ± √(1 - cos x) / 2

    6. cos x/2 = ± √(1 + cos x) / 2

    7. tan x/2 = ± √(1 - cos x) / (1 + cos x) = sin x / (1 + cos x) = (1 - cos x) / sin x

    8. cot x/2 = ± √(1 + cos x) / (1 - cos x) = (1 + cos x) / sin x = sin x / (1 - cos x)

    9. sin² x = 1 / 2 . (1 - cos 2x)

    10. cos² x = 1 / 2 . (1 + cos 2x)

    11. tan² x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x)

    12. cot² x = (1 + cos 2x) / (1 - cos 2x)


    6. Dönüşüm Formülleri

    Toplam ve fark şeklindeki trigonometrik ifadeleri çarpım şekline dönüştürmeye yarayan, toplam ve fark formüllerinden yola çıkarak (yararlanarak) elde edilen formüllerdir. Bunlar şunlardır;


    1. sin x + sin y = 2 . sin (x + y)/2 . cos (x - y)/2

    2. cos x + cos y = 2 . cos (x + y)/2 . cos (x - y)/2

    3. tan x + tan y = sin (x + y) / cos x . cos y

    4. cot x + cot y = sin (x + y) / sin x . sin y

    5. sin x - sin y = 2 . sin (x - y)/2 . cos (x + y)/2

    6. cos x - cos y = -2 . sin (x + y)/2 . sin (x - y)/2

    7. tan x - tan y = sin (x - y) / cos x . cos y

    8. cot x - cot y = -sin (x - y) / sin x . sin y


    7. Ters Dönüşüm Formülleri

    Çarpım şeklindeki trigonometrik ifadeleri toplam ve fark şekline dönüştürmeye yarayan, toplam ve fark formüllerinden yola çıkarak (yararlanarak) elde edilen formüllerdir. Bunlar şunlardır;


    1. sin x . sin y = -1 / 2 . [cos (x + y) - cos (x - y)]

    2. cos x . cos y = 1 / 2 . [cos (x + y) + cos (x - y)]

    3. sin x . cos y = 1 / 2 . [sin (x + y) + sin (x - y)]

    4. tan x . tan y = (tan x + tan y) / (cot x + cot y)

    5. cot x . cot y = (cot x + cot y) / (tan x + tan y)

    6. tan x . cot y = [sin (x + y) + sin (x - y)] / [sin (x + y) - sin (x - y)]


    8. Diğer Özellikleri

    1. sin (90 - x) = cos x

    2. cos (90 - x) = sin x

    3. tan (90 - x) = cot x

    4. cot (90 - x) = tan x

    5. sec (90 - x) = csc x

    6. csc (90 - x) = sec x


    9. Sonsuz Seri Şeklindeki Açılımları

    Trigonometrik ifadeleri (fonksiyonları) sonsuz bir seri şeklinde açabiliriz. sin x ve cos x fonksiyonlarının soru şeklindeki açılımları aşağıdaki gibidir.


    1. sin x = x - x³ / 3! + x⁵ / 5! - x⁷ / 7! + . . .

    2. cos x = 1 - x² / 2! + x⁴ / 4! - x⁶ / 6! + . . .


    Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

    sinüs (kırmızı), kosinüs (yeşil), tanjant (mavi) ve kotanjant (kahverengi) fonksiyonlarının grafikleri aşağıdaki gibidir.


    Trigonometri_Formülleri


    Trigonometri Tablosu

    Önemli trigonometrik değerlerin derece ve radyan cinsinden karşılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir.


    Trigonometri_Formülleri


    Published Date:

    December 06, 2020

    Updated Date:

    December 12, 2023