kısmi integrasyon (parçalı integral)
Kısmi İntegral Yöntemi, integral alma kurallarından biri olup; daha çok polinom şeklindeki bir fonksiyon ile üstel veya trigonometrik bir fonksiyonun çarpımının integralini almada kullanılır.
Tek parça halindeki bazı fonksiyonların integralini almak oldukça zor ve zaman alıcı bir iş olduğundan parçalı integral yöntemi ile bu durumdaki fonksiyonlar, parçalarından birisinin kolayca integralinin alınabileceği iki parçaya ayrılır.
Örneğin (x² . sin2x), (3x . lnx), (x² . eˣ) bu türden fonksiyonlardır.
Türev ve Diferansiyel
y = f(x) Fonksiyonu için eşitliğin her iki tarafının da diferansiyelini alalım.
y = f(x)
dy = df(x)
dy = f(x)'dx
dy/dx = f(x)' olur.
Yukarıdaki eşitlikteki dx ve dy ifadeleri sonsuz küçüklükteki (sıfıra yakın) değişimleri anlatmaktadır.
kısmi integral formülü
u ve v türevlenebilir (türevi alınabilir) iki fonksiyon olsun.
∫ u . dv = u . v - ∫ v . du olur.
İspat
İki fonksiyonun çarpımının diferansiyeli çarpımının türevi ile aynı şekilde hesaplanır. (bakınız çarpımın türevi)
(u . v)' = u' . v + v' . u ⇒ d(u . v) = du . v + dv . u olur.
d(u . v) = du . v + dv . u
d(u . v) = v . du + u . dv
v . du + u . dv = d(u . v)
∫ (v . du + u . dv) = ∫ d(u . v) (eşitliğin her iki tarafının da integralini alırız)
∫ df(x) = ∫ f(x)' dx
∫ df(x) = f(x) + c olur.
∫ v . du + ∫ u . dv = u . v
∫ u . dv = u . v - ∫ v . du olur.
kısmi integral soruları (kısmi integral örnekleri)
Örnek 1
∫ x . sinx dx İntegralinin sonucu nedir ?
x = u ve sinx dx = dv olsun.
dx = du olur.
sinx dx = dv
∫ sinx dx = ∫ dv
- cosx = v olur.
∫ u . dv = u . v - ∫ v . du
∫ x . sinx dx = x . (- cosx) - ∫ - cosx dx
∫ x . sinx dx = - x . cosx + ∫ cosx dx
∫ x . sinx dx = - x . cosx + sinx + c olur.
Örnek 2
∫ 3x² . lnx dx İntegralinin sonucu nedir ?
lnx = u ve 3x² dx = dv olsun.
d(lnx) = du
(lnx)' dx = du
x'/x dx = du
1/x dx = du olur.
3x² dx = dv
∫ 3x² dx = ∫ dv
x³ = v olur.
∫ u . dv = u . v - ∫ v . du
∫ lnx . 3x² dx = lnx . x³ - ∫ x³ . 1/x dx
∫ lnx . 3x² dx = lnx . x³ - ∫ x² dx
∫ lnx . 3x² dx = lnx . x³ - x³/3 + c olur.
Örnek 3
∫ 2x . eˣ dx İntegralinin sonucu nedir ?
2x = u ve eˣ dx = dv olsun.
d(2x) = du
(2x)'dx = du
2dx = du olur.
eˣ dx = dv
∫ eˣ dx = ∫ dv
eˣ = v olur.
∫ u . dv = u . v - ∫ v . du
∫ 2x . eˣ dx = u . v - ∫ v . du
∫ 2x . eˣ dx = 2x . eˣ - ∫ eˣ . 2dx
∫ 2x . eˣ dx = 2x . eˣ - 2 ∫ eˣ dx
∫ 2x . eˣ dx = 2x . eˣ - 2eˣ + c olur.
