Kısmi İntegral

06/18/20202 dakikalık okuma





Kısmi İntegrasyon



Kısmi İntegral Yöntemi veya Kısmi integrasyon Yöntemi integral alma kurallarından biri olarak ve daha çok polinom şeklindeki bir fonksiyon ile üstel bir fonksiyonun veya trigonometrik bir fonksiyonun çarpımının integralini hesaplama da yaygın olarak kullanılan bir metoddur.



Tek parça halindeki bazı fonksiyonların integralini almak oldukça zor ve zaman alıcı bir iş olduğundan dolayı Parçalı integral yönteminde bu durumdaki fonksiyonlar parçalarından birisinin kolayca integralinin alınabileceği iki parçaya ayrılır.



Türev ve Diferansiyel



y = f(x) fonksiyonu için aşağıda eşitliğin her iki tarafının da diferansiyelini alalım.



y = f(x)

dy = df(x)

dy = f(x)'dx

dy/dy = f(x)' olur.



Yukarıdaki eşitlikteki dx ve dy ifadeleri sonsuz küçüklükteki (sıfıra yakın) değişimleri anlatmaktadır.



Parçalı İntegral Yönteminin Formülü



u(x) ve v(x) türevlenebilir iki fonksiyon olsun.



∫ u(x) . v(x)' dx = u(x) . v(x) - ∫ v(x) . u(x)' dx olur.



İspat



[u(x) . v(x)]' = u(x)' . v(x) + v(x)' . u(x)

d[u(x) . v(x)] = d[u(x)] . v(x) + d[v(x)] . u(x)

[u(x) . v(x)]' dx = u(x)' dx . v(x) + v(x)' dx . u(x)

[u(x) . v(x)]' dx = v(x) . u(x)' dx + u(x) . v(x)' dx

v(x) . u(x)' dx + u(x) . v(x)' dx = [u(x) . v(x)]' dx

u(x) . v(x)' dx = [u(x) . v(x)]' dx - v(x) . u(x)' dx

∫ u(x) . v(x)' dx = ∫ [u(x) . v(x)]' dx - ∫ v(x) . u(x)' dx (∫ f(x)' dx = f(x))

∫ u(x) . v(x)' dx = u(x) . v(x) - ∫ v(x) . u(x)' dx olur.

Örnek 1

∫ x . sinx dx İntegralinin sonucu nedir ?



u(x) = x

u(x)' dx = x' dx

u(x)' dx = dx

v(x)' dx = sinx dx

v(x)' = sinx

v(x) = -cosx

∫ u(x) . v(x)' dx = u(x) . v(x) - ∫ v(x) . u(x)' dx

∫ x . sinx dx = x . -cosx - ∫ -cosx . dx

∫ x . sinx dx = x . -cosx - ∫ -cosx dx

∫ x . sinx dx = -x . cosx - (-sinx) + c

∫ x . sinx dx = -x . cosx + sinx + c olur.



Örnek 2

∫ 3x² . lnx dx İntegralinin sonucu nedir ?



u(x) = lnx

u(x)' dx = (lnx)' dx

u(x)' dx = x'/x dx

u(x)' dx = 1/x dx

v(x)' dx = 3x² dx

v(x)' = 3x²

v(x) = x³

∫ u(x) . v(x)' dx = u(x) . v(x) - ∫ v(x) . u(x)' dx

∫ lnx . 3x² dx = lnx . x³ - ∫ x³ . 1/x dx

∫ lnx . 3x² dx = lnx . x³ - ∫ x² dx

∫ lnx . 3x² dx = lnx . x³ - x³/3 + c olur.



Örnek 3

∫ 2x . eˣ dx İntegralinin sonucu nedir ?



u(x) = 2x

u(x)' dx = (2x)' dx

u(x)' dx = 2 dx

v(x)' dx = eˣ dx

v(x)' = eˣ

v(x) = eˣ

∫ u(x) . v(x)' dx = u(x) . v(x) - ∫ v(x) . u(x)' dx

∫ 2x . eˣ dx = 2x . eˣ - ∫ eˣ . 2 dx

∫ 2x . eˣ dx = 2x . eˣ - 2 ∫ eˣ dx

∫ 2x . eˣ dx = 2x . eˣ - 2 . eˣ + c olur.

https://bylge-images.s3.amazonaws.com/banff-4331689_1920.jpg
Pow

Fizik, Kimya, Matematik, Tarih ve Genel Kültür Sevdiricisi

https://bylge-images.s3.amazonaws.com/banff-4331689_1920.jpgPow senin desteğini bekliyor.
İçerik paylaşarak para kazanmanın kolay yolu 💰