bylge-logo

    Bylge

    Ters Fonksiyonun TĂŒrevi

    Picture of the Pow

    Pow

    December 10, 2023

    f: A → B'ye tanımlı bire bir ve örten bir fonksiyon olmak ĂŒzere; f⁻Âč: B → A'ya tanımlı fonksiyonuna f fonksiyonun ters fonksiyonu denir. y = f(x) ⇒ x = f­⁻Âč


    Ters_Fonksiyonun_TĂŒrevi


    f: A → B'ye tanımlı bire bir ve örten bir fonksiyon olmak ĂŒzere; f⁻Âč: B → A'ya tanımlı fonksiyonuna f fonksiyonun ters fonksiyonu denir.


    y = f(x) ⇒ x = f­⁻Âč(y) olur. Eßitlikteki f­⁻Âč(y)'ye f(x) fonksiyonun ters fonksiyonu denir ve f⁻Âč(x) ßeklinde de gösterilebilir.


    Ters Fonksiyon TĂŒrevi FormĂŒlĂŒ


    (f­⁻Âč)'(y) = (f­⁻Âč)'(f(x)) = 1/f(x)' (f(x)' ≠ 0)


    Ters Fonksiyon TĂŒrevi İspatı


    f(x) = y

    f­⁻Âč(y) = x

    y = f(u) ⇒ y' = u'.f(u)'

    f­⁻Âč(y)' = x' (eßitliğin her iki tarafının da tĂŒrevini alırız)

    y'.f­⁻Âč(y)' = 1

    f­⁻Âč(y)' = 1/y'

    f­⁻Âč(y)' = 1/f(x)' olur.


    Örnek 1

    y = f(x) = 2x + 3 ise (f­⁻Âč)'(x) = ?


    1. Yol

    y = f(x) = 2x + 3 fonksiyonunun tersini bulabilmek için x yerine y ve y yerine de x koyar ve y'yi yalnız bırakırız. ( bakınız ters fonksiyon )


    2x + 3 = y

    2y + 3 = x

    2y = x - 3

    y = (x - 3)/2

    f⁻Âč(x) = (x - 3)/2 = 1/2.(x - 3)

    (f⁻Âč)'(x) = 1/2.(x - 3)'

    (f⁻Âč)'(x) = 1/2.1

    (f⁻Âč)'(x) = 1/2 olur.


    2. Yol

    (f⁻Âč)'(y) = 1/f(x)'

    f(x) = 2x + 3

    f(x)' = (2x + 3)'

    f(x)' = 2

    (f⁻Âč)'(y) = 1/2

    (f⁻Âč)'(x) = 1/2 olur.


    Örnek 2

    y = f(x) = xÂČ ise (f­⁻Âč)'(x) = ?


    1. Yol

    xÂČ = y

    yÂČ = x

    √yÂČ = √x

    y = √x

    f⁻Âč(x) = √x

    (f⁻Âč)'(x) = (√x)'

    (f⁻Âč)'(x) = 1/2√x olur. ( bakınız karekök tĂŒrevi )


    2. Yol

    (f⁻Âč)'(y) = 1/f(x)'

    f(x) = xÂČ

    f(x)' = (xÂČ)'

    f(x)' = 2x

    (f⁻Âč)'(y) = 1/2x

    xÂČ = y

    √xÂČ = √y

    x = √y

    (f⁻Âč)'(y) = 1/2√y

    (f⁻Âč)'(x) = 1/2√x olur.

    Share Your Expertise, Earn Rewards!

    Found this insightful? Imagine your knowledge generating income. Contribute your articles to bylge.com and connect with readers while unlocking your earning potential.